Dette kapitel er for elever på 2024-ordningen. Dvs. elever startet i 2024 eller senere. Er du på den gamle ordning skal du i stedet læse dette kapitel.
I en uafhængighedstest undersøger vi, om der er uafhængig mellem to data i to forskellige kategorier ud fra en stikprøve. Det kunne f.eks. man ville undersøge om der var uafhængighed mellem landsdel og politisk tilhørsforhold.
Altså, er der forskel på, hvor populære de forskellige partier er i de forskellige landsdele? Da en uafhængighedstest ligesom en GOF-test er en \(\chi ^2\)-test, vil store dele af afsnittet være velkendt allerede.
Vi vil demonstrere, hvordan man laver en uafhængighedstest med udgangspunkt i følgende case:
En gruppe elever fra Niels Brock vil undersøge om der uafhængighed mellem køn og yndlingskage. Altså er de forskellige kagetyper lige populære hos de to køn. De spørger \(55\) elever og når frem til følgende:
.
Dreng
Pige
Total
Drømmekage
\(13\)
\(5\)
\(18\)
Chokoladekage
\(14\)
\(11\)
\(25\)
Andet
\(6\)
\(6\)
\(12\)
Total
\(33\)
\(22\)
\(\textbf {55}\)
Er der uafhængighed mellem køn og kagetype?
Vi husker, at vi tidligere har kigget på denne case (i afsnit 12.4). Vi fandt ud af, at der ikke var uafhængighed mellem køn og kagevalg, men vi var ikke i
stand til at sige noget om, hvorvidt det også gælder generelt, eller om det kun er gældende i stikprøven. Så når vi nu stiller spørgsmålet ”Er der uafhængighed mellem køn og kagetype?”, mener vi, om det gælder generelt, og ikke
bare for vores lille stikprøve. Dette spørgsmål kan besvares med en uafhængighedstest. Ligesom ved GOF-test vil vi her fokusere på hvordan man gør, og så kommer der forklaringer og detaljer i et senere afsnit.
Observerede værdier
Udgangspunktet for at lave en uafhængighedstest er nogle observerede værdier. I forhold til vores undersøgelse om yndlingskage ser de således ud:
.
Dreng
Pige
Total
Drømmekage
\(13\)
\(5\)
\(18\)
Chokoladekage
\(14\)
\(11\)
\(25\)
Andet
\(6\)
\(6\)
\(12\)
Total
\(33\)
\(22\)
\(\textbf {55}\)
Tabel 16.4: Observerede værdier
Fastlæggelse af signifikansniveau
Ligesom ved GOF-test skal vi fastlægge et signifikansniveau og her er der intet ny. Vi vælger \(5\%\) som standard.
Opstilling af hypoteser
Vi skal nu opstille hypoteser. Vi vil gerne finde ud af om der er uafhængighed mellem køn og kage, og det formulerer vi i følgende to hypoteser.
\(H_0\): Der er uafhængighed mellem køn og yndlingskage
\(H_1\): Der er ikke uafhængighed mellem køn og yndlingskage.
Også her kaldes \(H_0\) nulhypotesen og \(H_1\) den alternative hypotese. I uafhængighedstest har hypoteserne altid denne form.
Beregning af forventede værdier
Til forskel fra GOF-testen har vi ikke fået opgivet en forventet fordeling. I stedet regner vi de forventede værdier ud fra de observerede. Ligesom ved GOF-test er de forventede værdier dem ville forvente at observere, hvis \(H_0\)
var sand. Vi bruger følgende formel:
Vi kan f.eks. beregne det forventede antal drenge, som bedst kan lide chokoladekage. Vi finder først det felt med drenge og chokoladekage (markeret med gult). Herfra aflæser vi rækkesum (grøn), søjlesum (blå) og totalsum (rød):
Som tommelfingerregel skal der være minimum \(5\) i hver af de forventede værdier. Vi har en forventet værdi på \(4{,}8\), så det er lige i underkanten, men da et kun er en tommelfingerregel fortsætter vi alligevel.
Bestemmes af \(\chi ^2\)-teststørrelse
Teststørrelsen bestemmes på tilsvarende måde som ved GOF-test.
Vi finder p-værdien på samme måde som ved GOF-test. Det eneste forskel er, at antallet af frihedsgrader regnes lidt anderledes. Her skal vi bruge formlen:
I vores tilfælde bliver antallet af frihedsgrader altså
\[df=(3-1)\cdot (2-1)=2\]
Vi finder nu p-værdien i GeoGebra ved at bestemme \(P(X\geq 1{,}79)\) for en \(\chi ^2\)-fordeling med to frihedsgrader:
Som det ses i screenshottet, har vi valgt ”Chi i anden” som fordeling, indtastet frihedsgraderne ud fra ”df” og indtastet teststørrelsen. Vi ser at \(P(X\geq 1{,}79)=0{,}41\), så:
\[p=0{,}41=41\%\]
Konklusion
Denne del er også magen til GOF-testen. Vi skal sammenligne \(p\)-værdien med signifikansniveauet \(\alpha \). Vi husker:
.
Hvis \(p \leq \alpha \)
Vi forkaster \(H_0\). Dette betyder, at der er tilpas stor forskel på de observerede og forventede værdier til, at vi ikke længere kan tro på \(H_0\). Det får os til at tro på \(H_1\).
Hvis \(p > \alpha \)
Vi forkaster ikke \(H_0\). Dette betyder, at forskellen mellem observerede og forventede værdier, ikke er tilstrækkelig stor til at afvise \(H_0\). Dette opfatter vi som en bekræftelse af \(H_0\).
I vores tilfælde er \(p=0{,}41=41\%\) og \(\alpha =5\%\) så \(p>\alpha \), og vi kan dermed ikke forkaste \(H_0\). Da \(H_0\) var uafhængighed mellem køn og yndlingskage kan vi konkludere:
Vi har undersøgt om der er uafhængighed mellem køn og yndlingskage. På baggrund af de indsamlede data ser vi ingen grund til at betvivle, at der er uafhængighed. Vores stikprøve er dog meget lille, så det vil være
hensigtsmæssigt at lave en ny undersøgelse med en større stikprøve.
Havde \(p < \alpha \) ville konklusionen have været, at der var afhængighed (dvs. sammenhæng) mellem køn og yndlingskage.
Øvelse 16.2.1
En gruppe elever lavede i 2014 en undersøgelse i på skolen, hvor de spurgte til om man var til Carlsberg eller Turborg. Resultatet ses her:
.
Kvinde
Mand
Carlsberg
\(7\)
\(7\)
Tuborg
\(7\)
\(8\)
Du skal nu lave en \(\chi ^2\)-test hvor I undersøger, med et \(5\%\) signifikansniveau, om der er sammenhæng mellem køn og yndlingsøl. Du skal altså:
a) Opstille nulhypotesen og den alternative hypotese.
b) Beregne de forventede værdier.
c) Afgøre om vi har nok data til at gennemføre en \(\chi ^2\)-test.
d) Bestemme teststørrelsen.
e) Bestemme antallet af frihedsgrader.
f) Bestemme \(p\)-værdien.
g) Afgøre om vi skal forkaste nulhypotesen.
h) Afgør om der er sammenhæng mellem køn og yndlingsøl.
i) Når du kigger på de observerede hyppigheder er du så overrasket over testens resultat?
Løsning 16.2.1
a) \(H_0\): Der er uafhængighed mellem køn og yndlingsøl.
\(H_1\): Der ikke uafhængighed mellem køn og yndlingsøl.
b)
.
Kvinde
Mand
Carlsberg
\(6{,}7586\)
\(7{,}2414\)
Tuborg
\(7{,}2414\)
\(7{,}7586\)
c) Der er mere end \(5\) i hver af de forventede værdier så det kan vi godt (selvom det ikke er ideelt med så få data)
d) \(Q=0{,}0322\)
e) Der er 1 frihedsgrad.
f) \(p=0{,}8575\).
g) Vi forkaster ikke.
h) Vi kan ikke påvise nogen sammenhæng mellem køn og yndlingsøl. Stikprøven er dog meget lille, så vi kunne få et andet resultat, hvis vi udtog en større
stikprøve.
i) Det er ingen overraskelse. De observerede hyppigheder kunne ikke være mere lige fordelt!
Ekstra
Ligesom ved GOF-test Man kan skrive beregningerne mere præcist, hvis man ikke er bange for indeks og summationstegn.
Generelt ser en tabel over observerede værdier sådan her ud:
.
Søjle 1
Søjle 2
…
Total
Række 1
\(O_{11}\)
\(O_{12}\)
…
\(O_{1\bullet }\)
Række 2
\(O_{21}\)
\(O_{22}\)
\(O_{2\bullet }\)
⋮
⋮
⋮
⋮
Total
\(O_{\bullet 1}\)
\(O_{\bullet 2}\)
…
\(n\)
Vi betegner rækkenumre med \(i\) og søjlenumrene med \(j\), og har vi en observeret værdi i den \(i\)’te række og \(j\)’te søjle, betegner vi den med \(O_{ij}\).
Den \(i\)’te rækkesum kan skrives med formlen:
\[O_{ i \bullet } = \sum _{j} O_{ij}\]
Her betyder \(\displaystyle \sum _{j}\), at vi skal have et led for hver værdi af \(j\), som er de mulige søjlenumre.
Vi kan tilsvarende skrive den \(j\)’te søjlesum med formlen:
\[O_{\bullet j} = \sum _{i} O_{ij}\]
Lægger vi alle de observerede værdier sammen, får vi selvfølgelig stikprøvestørrelsen \(n\):
\[n=\sum _{ij} O_{ij}\]
Her betyder \(\displaystyle \sum _{ij}\) at vi skal have et led for hver mulig kombination af \(i\) og \(j\), dvs. et led for hver observeret værdi.
De forventede værdier for række \(i\) og søjle \(j\) betegnes med \(E_{ij}\), og dens formel kan selvfølgelig opskrives som:
