MATHHX B
\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\)
\(\def \LWRfootnote {1}\)
\(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\let \LWRorighspace \hspace \)
\(\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }\)
\(\newcommand {\TextOrMath }[2]{#2}\)
\(\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}\)
\(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\)
\(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \)
\(\newcommand {\setlength }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtolength }[2]{}\)
\(\newcommand {\setcounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\arabic }[1]{}\)
\(\newcommand {\number }[1]{}\)
\(\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\newcommand {\cline }[1]{}\)
\(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\protect }{}\)
\(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\)
\(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\)
\(\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}\)
\(\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }\)
\(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\)
\(\def \mathcode #1={\mathchar }\)
\(\let \delcode \mathcode \)
\(\let \delimiter \mathchar \)
\(\def \oe {\unicode {x0153}}\)
\(\def \OE {\unicode {x0152}}\)
\(\def \ae {\unicode {x00E6}}\)
\(\def \AE {\unicode {x00C6}}\)
\(\def \aa {\unicode {x00E5}}\)
\(\def \AA {\unicode {x00C5}}\)
\(\def \o {\unicode {x00F8}}\)
\(\def \O {\unicode {x00D8}}\)
\(\def \l {\unicode {x0142}}\)
\(\def \L {\unicode {x0141}}\)
\(\def \ss {\unicode {x00DF}}\)
\(\def \SS {\unicode {x1E9E}}\)
\(\def \dag {\unicode {x2020}}\)
\(\def \ddag {\unicode {x2021}}\)
\(\def \P {\unicode {x00B6}}\)
\(\def \copyright {\unicode {x00A9}}\)
\(\def \pounds {\unicode {x00A3}}\)
\(\let \LWRref \ref \)
\(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\)
\( \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}\)
\(\require {textcomp}\)
\(\require {colortbl}\)
\(\let \LWRorigcolumncolor \columncolor \)
\(\renewcommand {\columncolor }[2][named]{\LWRorigcolumncolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\let \LWRorigrowcolor \rowcolor \)
\(\renewcommand {\rowcolor }[2][named]{\LWRorigrowcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\let \LWRorigcellcolor \cellcolor \)
\(\renewcommand {\cellcolor }[2][named]{\LWRorigcellcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\newcommand {\tothe }[1]{^{#1}}\)
\(\newcommand {\raiseto }[2]{{#2}^{#1}}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxEND }{}\)
\(\def \LWRsiunitxang #1;#2;#3;#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#1}{}{\num {#1}\degree }\ifblank {#2}{}{\num {#2}^{\unicode {x2032}}}\ifblank {#3}{}{\num {#3}^{\unicode {x2033}}}}\)
\(\newcommand {\ang }[2][]{\LWRsiunitxang #2;;;\LWRsiunitxEND }\)
\(\def \LWRsiunitxdistribunit {}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxENDTWO }{}\)
\(\def \LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,#2,#3\LWRsiunitxENDTWO {\ifblank {#1}{0}{\mathrm {#1}}\ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\mathrm {#2}}}\)
\(\def \LWRsiunitxprintdecimalsub #1.#2.#3\LWRsiunitxEND {\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,,\LWRsiunitxENDTWO \ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo
#2,,\LWRsiunitxENDTWO }}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxprintdecimal }[1]{\LWRsiunitxprintdecimalsub #1...\LWRsiunitxEND }\)
\(\def \LWRsiunitxnumplus #1+#2+#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}{\ifblank {#1}{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode
{x02B}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}}\LWRsiunitxdistribunit }\)
\(\def \LWRsiunitxnumminus #1-#2-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumplus #1+++\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#1}{}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}\unicode {x02212}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\def \LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm #2\pm #3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumminus #1---\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\def \LWRsiunitxnumpm #1+-#2+-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm \pm \pm \LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxnumscientific }[2]{\ifblank {#1}{}{\ifstrequal {#1}{-}{-}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\times }}10^{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}\LWRsiunitxdistribunit }\)
\(\def \LWRsiunitxnumD #1D#2D#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpm #1+-+-\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumd #1d#2d#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumD #1DDD\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumE #1E#2E#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumd #1ddd\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnume #1e#2e#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumE #1EEE\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumx #1x#2x#3x#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#3}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume
#2eee\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #3eee\LWRsiunitxEND }}}\)
\(\newcommand {\num }[2][]{\LWRsiunitxnumx #2xxxxx\LWRsiunitxEND }\)
\(\newcommand {\si }[2][]{\mathrm {\gsubstitute {#2}{~}{\,}}}\)
\(\def \LWRsiunitxSIopt #1[#2]#3{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#3}}{#2}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxSI }[2]{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#2}}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\)
\(\newcommand {\SI }[2][]{\ifnextchar [{\LWRsiunitxSIopt {#2}}{\LWRsiunitxSI {#2}}}\)
\(\newcommand {\numlist }[2][]{\text {#2}}\)
\(\newcommand {\numrange }[3][]{\num {#2}\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}}\)
\(\newcommand {\SIlist }[3][]{\text {#2}\,\si {#3}}\)
\(\newcommand {\SIrange }[4][]{\num {#2}\,#4\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}\,#4}\)
\(\newcommand {\tablenum }[2][]{\mathrm {#2}}\)
\(\newcommand {\ampere }{\mathrm {A}}\)
\(\newcommand {\candela }{\mathrm {cd}}\)
\(\newcommand {\kelvin }{\mathrm {K}}\)
\(\newcommand {\kilogram }{\mathrm {kg}}\)
\(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\mole }{\mathrm {mol}}\)
\(\newcommand {\second }{\mathrm {s}}\)
\(\newcommand {\becquerel }{\mathrm {Bq}}\)
\(\newcommand {\degreeCelsius }{\unicode {x2103}}\)
\(\newcommand {\coulomb }{\mathrm {C}}\)
\(\newcommand {\farad }{\mathrm {F}}\)
\(\newcommand {\gray }{\mathrm {Gy}}\)
\(\newcommand {\hertz }{\mathrm {Hz}}\)
\(\newcommand {\henry }{\mathrm {H}}\)
\(\newcommand {\joule }{\mathrm {J}}\)
\(\newcommand {\katal }{\mathrm {kat}}\)
\(\newcommand {\lumen }{\mathrm {lm}}\)
\(\newcommand {\lux }{\mathrm {lx}}\)
\(\newcommand {\newton }{\mathrm {N}}\)
\(\newcommand {\ohm }{\mathrm {\Omega }}\)
\(\newcommand {\pascal }{\mathrm {Pa}}\)
\(\newcommand {\radian }{\mathrm {rad}}\)
\(\newcommand {\siemens }{\mathrm {S}}\)
\(\newcommand {\sievert }{\mathrm {Sv}}\)
\(\newcommand {\steradian }{\mathrm {sr}}\)
\(\newcommand {\tesla }{\mathrm {T}}\)
\(\newcommand {\volt }{\mathrm {V}}\)
\(\newcommand {\watt }{\mathrm {W}}\)
\(\newcommand {\weber }{\mathrm {Wb}}\)
\(\newcommand {\day }{\mathrm {d}}\)
\(\newcommand {\degree }{\mathrm {^\circ }}\)
\(\newcommand {\hectare }{\mathrm {ha}}\)
\(\newcommand {\hour }{\mathrm {h}}\)
\(\newcommand {\litre }{\mathrm {l}}\)
\(\newcommand {\liter }{\mathrm {L}}\)
\(\newcommand {\arcminute }{^\prime }\)
\(\newcommand {\minute }{\mathrm {min}}\)
\(\newcommand {\arcsecond }{^{\prime \prime }}\)
\(\newcommand {\tonne }{\mathrm {t}}\)
\(\newcommand {\astronomicalunit }{au}\)
\(\newcommand {\atomicmassunit }{u}\)
\(\newcommand {\bohr }{\mathit {a}_0}\)
\(\newcommand {\clight }{\mathit {c}_0}\)
\(\newcommand {\dalton }{\mathrm {D}_\mathrm {a}}\)
\(\newcommand {\electronmass }{\mathit {m}_{\mathrm {e}}}\)
\(\newcommand {\electronvolt }{\mathrm {eV}}\)
\(\newcommand {\elementarycharge }{\mathit {e}}\)
\(\newcommand {\hartree }{\mathit {E}_{\mathrm {h}}}\)
\(\newcommand {\planckbar }{\mathit {\unicode {x210F}}}\)
\(\newcommand {\angstrom }{\mathrm {\unicode {x212B}}}\)
\(\let \LWRorigbar \bar \)
\(\newcommand {\barn }{\mathrm {b}}\)
\(\newcommand {\bel }{\mathrm {B}}\)
\(\newcommand {\decibel }{\mathrm {dB}}\)
\(\newcommand {\knot }{\mathrm {kn}}\)
\(\newcommand {\mmHg }{\mathrm {mmHg}}\)
\(\newcommand {\nauticalmile }{\mathrm {M}}\)
\(\newcommand {\neper }{\mathrm {Np}}\)
\(\newcommand {\yocto }{\mathrm {y}}\)
\(\newcommand {\zepto }{\mathrm {z}}\)
\(\newcommand {\atto }{\mathrm {a}}\)
\(\newcommand {\femto }{\mathrm {f}}\)
\(\newcommand {\pico }{\mathrm {p}}\)
\(\newcommand {\nano }{\mathrm {n}}\)
\(\newcommand {\micro }{\mathrm {\unicode {x00B5}}}\)
\(\newcommand {\milli }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\centi }{\mathrm {c}}\)
\(\newcommand {\deci }{\mathrm {d}}\)
\(\newcommand {\deca }{\mathrm {da}}\)
\(\newcommand {\hecto }{\mathrm {h}}\)
\(\newcommand {\kilo }{\mathrm {k}}\)
\(\newcommand {\mega }{\mathrm {M}}\)
\(\newcommand {\giga }{\mathrm {G}}\)
\(\newcommand {\tera }{\mathrm {T}}\)
\(\newcommand {\peta }{\mathrm {P}}\)
\(\newcommand {\exa }{\mathrm {E}}\)
\(\newcommand {\zetta }{\mathrm {Z}}\)
\(\newcommand {\yotta }{\mathrm {Y}}\)
\(\newcommand {\percent }{\mathrm {\%}}\)
\(\newcommand {\meter }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\gram }{\mathrm {g}}\)
\(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\)
\(\newcommand {\of }[1]{_{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\squared }{^2}\)
\(\newcommand {\square }[1]{\mathrm {#1}^2}\)
\(\newcommand {\cubed }{^3}\)
\(\newcommand {\cubic }[1]{\mathrm {#1}^3}\)
\(\newcommand {\per }{\,\mathrm {/}}\)
\(\newcommand {\celsius }{\unicode {x2103}}\)
\(\newcommand {\fg }{\femto \gram }\)
\(\newcommand {\pg }{\pico \gram }\)
\(\newcommand {\ng }{\nano \gram }\)
\(\newcommand {\ug }{\micro \gram }\)
\(\newcommand {\mg }{\milli \gram }\)
\(\newcommand {\g }{\gram }\)
\(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\)
\(\newcommand {\amu }{\mathrm {u}}\)
\(\newcommand {\nm }{\nano \metre }\)
\(\newcommand {\um }{\micro \metre }\)
\(\newcommand {\mm }{\milli \metre }\)
\(\newcommand {\cm }{\centi \metre }\)
\(\newcommand {\dm }{\deci \metre }\)
\(\newcommand {\m }{\metre }\)
\(\newcommand {\km }{\kilo \metre }\)
\(\newcommand {\as }{\atto \second }\)
\(\newcommand {\fs }{\femto \second }\)
\(\newcommand {\ps }{\pico \second }\)
\(\newcommand {\ns }{\nano \second }\)
\(\newcommand {\us }{\micro \second }\)
\(\newcommand {\ms }{\milli \second }\)
\(\newcommand {\s }{\second }\)
\(\newcommand {\fmol }{\femto \mol }\)
\(\newcommand {\pmol }{\pico \mol }\)
\(\newcommand {\nmol }{\nano \mol }\)
\(\newcommand {\umol }{\micro \mol }\)
\(\newcommand {\mmol }{\milli \mol }\)
\(\newcommand {\mol }{\mol }\)
\(\newcommand {\kmol }{\kilo \mol }\)
\(\newcommand {\pA }{\pico \ampere }\)
\(\newcommand {\nA }{\nano \ampere }\)
\(\newcommand {\uA }{\micro \ampere }\)
\(\newcommand {\mA }{\milli \ampere }\)
\(\newcommand {\A }{\ampere }\)
\(\newcommand {\kA }{\kilo \ampere }\)
\(\newcommand {\ul }{\micro \litre }\)
\(\newcommand {\ml }{\milli \litre }\)
\(\newcommand {\l }{\litre }\)
\(\newcommand {\hl }{\hecto \litre }\)
\(\newcommand {\uL }{\micro \liter }\)
\(\newcommand {\mL }{\milli \liter }\)
\(\newcommand {\L }{\liter }\)
\(\newcommand {\hL }{\hecto \liter }\)
\(\newcommand {\mHz }{\milli \hertz }\)
\(\newcommand {\Hz }{\hertz }\)
\(\newcommand {\kHz }{\kilo \hertz }\)
\(\newcommand {\MHz }{\mega \hertz }\)
\(\newcommand {\GHz }{\giga \hertz }\)
\(\newcommand {\THz }{\tera \hertz }\)
\(\newcommand {\mN }{\milli \newton }\)
\(\newcommand {\N }{\newton }\)
\(\newcommand {\kN }{\kilo \newton }\)
\(\newcommand {\MN }{\mega \newton }\)
\(\newcommand {\Pa }{\pascal }\)
\(\newcommand {\kPa }{\kilo \pascal }\)
\(\newcommand {\MPa }{\mega \pascal }\)
\(\newcommand {\GPa }{\giga \pascal }\)
\(\newcommand {\mohm }{\milli \ohm }\)
\(\newcommand {\kohm }{\kilo \ohm }\)
\(\newcommand {\Mohm }{\mega \ohm }\)
\(\newcommand {\pV }{\pico \volt }\)
\(\newcommand {\nV }{\nano \volt }\)
\(\newcommand {\uV }{\micro \volt }\)
\(\newcommand {\mV }{\milli \volt }\)
\(\newcommand {\V }{\volt }\)
\(\newcommand {\kV }{\kilo \volt }\)
\(\newcommand {\W }{\watt }\)
\(\newcommand {\uW }{\micro \watt }\)
\(\newcommand {\mW }{\milli \watt }\)
\(\newcommand {\kW }{\kilo \watt }\)
\(\newcommand {\MW }{\mega \watt }\)
\(\newcommand {\GW }{\giga \watt }\)
\(\newcommand {\J }{\joule }\)
\(\newcommand {\uJ }{\micro \joule }\)
\(\newcommand {\mJ }{\milli \joule }\)
\(\newcommand {\kJ }{\kilo \joule }\)
\(\newcommand {\eV }{\electronvolt }\)
\(\newcommand {\meV }{\milli \electronvolt }\)
\(\newcommand {\keV }{\kilo \electronvolt }\)
\(\newcommand {\MeV }{\mega \electronvolt }\)
\(\newcommand {\GeV }{\giga \electronvolt }\)
\(\newcommand {\TeV }{\tera \electronvolt }\)
\(\newcommand {\kWh }{\kilo \watt \hour }\)
\(\newcommand {\F }{\farad }\)
\(\newcommand {\fF }{\femto \farad }\)
\(\newcommand {\pF }{\pico \farad }\)
\(\newcommand {\K }{\mathrm {K}}\)
\(\newcommand {\dB }{\mathrm {dB}}\)
\(\newcommand {\kibi }{\mathrm {Ki}}\)
\(\newcommand {\mebi }{\mathrm {Mi}}\)
\(\newcommand {\gibi }{\mathrm {Gi}}\)
\(\newcommand {\tebi }{\mathrm {Ti}}\)
\(\newcommand {\pebi }{\mathrm {Pi}}\)
\(\newcommand {\exbi }{\mathrm {Ei}}\)
\(\newcommand {\zebi }{\mathrm {Zi}}\)
\(\newcommand {\yobi }{\mathrm {Yi}}\)
\(\let \unit \si \)
\(\let \qty \SI \)
\(\let \qtylist \SIlist \)
\(\let \qtyrange \SIrange \)
\(\let \numproduct \num \)
\(\let \qtyproduct \SI \)
\(\let \complexnum \num \)
\(\newcommand {\complexqty }[3][]{(\complexnum {#2})\si {#3}}\)
\(\newcommand {\mleft }{\left }\)
\(\newcommand {\mright }{\right }\)
\(\newcommand {\mleftright }{}\)
\(\newcommand {\mleftrightrestore }{}\)
\(\require {gensymb}\)
\(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\let \Hat \hat \)
\(\let \Check \check \)
\(\let \Tilde \tilde \)
\(\let \Acute \acute \)
\(\let \Grave \grave \)
\(\let \Dot \dot \)
\(\let \Ddot \ddot \)
\(\let \Breve \breve \)
\(\let \Bar \bar \)
\(\let \Vec \vec \)
\(\require {cancel}\)
\(\newcommand {\Dom }{\operatorname {Dom}}\)
\(\newcommand {\Ran }{\operatorname {Ran}}\)
\(\newcommand {\Dm }{\operatorname {Dm}}\)
\(\newcommand {\Vm }{\operatorname {Vm}}\)
\(\newcommand {\Var }{\operatorname {Var}}\)
\(\newcommand {\SD }{\operatorname {SD}}\)
\(\newcommand {\ExV }{\operatorname {E}}\)
\(\newcommand {\opointtext }{\textcolor {blue}{\circ }}\)
\(\newcommand {\cpointtext }{\textcolor {blue}{\bullet }}\)
\(\newcommand {\vectwo }[2]{\begin {pmatrix} #1 \\ #2 \end {pmatrix}}\)
\(\newcommand {\tcbset }[1]{}\)
\(\newcommand {\tcbsetforeverylayer }[1]{}\)
\(\newcommand {\tcbox }[2][]{\boxed {\text {#2}}}\)
\(\newcommand {\tcboxfit }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\tcblower }{}\)
\(\newcommand {\tcbline }{}\)
\(\newcommand {\tcbtitle }{}\)
\(\newcommand {\tcbsubtitle [2][]{\mathrm {#2}}}\)
\(\newcommand {\tcboxmath }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\tcbhighmath }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }\)
\(\let \midrule \toprule \)
\(\let \bottomrule \toprule \)
\(\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}\)
\(\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}\)
\(\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }\)
\(\newcommand {\morecmidrules }{}\)
\(\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }\)
\(\newcommand {\addlinespace }[1][]{}\)
\(\def \LWRsiunitxrangephrase {\TextOrMath { }{\ }\protect \mbox {to (numerical range)}\TextOrMath { }{\ }}\)
\(\def \LWRsiunitxdecimal {.}\)
8.6 Teori for finansiel regning
Vi skal nu se nærmere på nogle af de begreber, vi har arbejdet med i de forgående afsnit. Det vil gøre os i stand til at regne flere typer af opgaver, og vi vil få en bedre forståelse af begreberne. Desuden er indholdet i afsnittet
afgørende i forhold til at kunne forstå beviserne hørerende til emnet.
Kapitalfremskrivning
Vi husker tidslinjen for kapitalfremskrivning:
Vi husker også at kapitalfremskrivning kan bruges både i forbindelse med opsparing og lån. Vi ser det primært i forbindelse med opsparing, fordi lån jo som regel er noget man betaler af på, hvilket giver os et annuitetslån (der er en
ydelse). Men kapitalfremskrivning handler faktisk bare om, hvordan et beløb vokser, når der bliver tilskrevet rente og en god forståelse af kapitalfremskrivning er grundlaget for en dybere forståelse af annuitetsopsparinger og
annuitetslån.
Frem og tilbageskrivning
Regner vi \(K_n\) ud fra \(K_0\), siger vi, at vi har fremskrevet \(K_0\). Regner vi \(K_0\) ud fra \(K_n\), siger vi, at vi har tilbageskrevet \(K_n\). Når man fremskriver en kapital, så lægger man renter på kapitalen.
Tilbageskriver man kapitalen, fjerner man renterne igen, for at nå frem til det oprindelige beløb uden renter. Skriver man et beløb frem, siger man at man har fundet beløbets fremtidsværdi, derfor bliver \(K_n\) også kaldt
kapitalens fremtidsværdi. Tilsvarende kaldes \(K_0\) for kapitalens nutidsværdi.
Fremskrivningsformlen
Vi skal nu se hvor kapitalfremskrivningsformlen \(K_n=K_0 (1+r)^n\) kommer fra. Vi starter med at lave en formel for \(K_1\), dvs. \(K_0\) tilskrevet renter en enkelt gang. Vi ved fra procentregning at dette gøres ved at gange
\(K_0\) med \((1+r)\):
\(\seteqnumber{0}{8.}{0}\)
\begin{equation*}
\label {fr-renterengang} K_1=K_0 (1+r)
\end{equation*}
Vi kan nu finde \(K_2\) ved at tilskrive \(K_1\) endnu en rente:
\(\seteqnumber{0}{8.}{0}\)
\begin{align*}
K_2 & =K_1 (1+r) \\ & = K_0 (1+r)(1+r) && (\text {Da } K_1=K_0 (1+r))\\ & =K_0 (1+r)^2
\end{align*}
På tilsvarende måde regner vi \(K_3\) ud fra formlen for \(K_2\):
\(\seteqnumber{0}{8.}{0}\)
\begin{align*}
K_3 & =K_2 (1+r) \\ & = K_0 (1+r)^2(1+r) && (\text {Da } K_2=K_0 (1+r)^2)\\ & =K_0 (1+r)^3
\end{align*}
Vi ser mønsteret og konkluderer at
\[K_n=K_0 (1+r)^n\]
Alternativt kan vi argumenterer for kapitalfremskrivningsformlen med udgangspunkt i eksponentielle funktioner. Eksponentielle funktioner er funktioner, der vokser med en fast procent, og det er jo netop den situation, vi har, når
vi tilskriver en fast rente til en kapital. Vi husker forskriften:
\[f(x)=ba^x\]
Vi husker også at \(b\) er begyndelsesværdien og \(a\) er fremskrivningsfaktoren som kan bestemmes ud fra vækstraten ved \(a=1+r\). Kapitalfremskrivningsformlen opstår når vi kigger på slutkapitalen som funktion af antallet af
terminer. Der har vi nemlig:
-
• Den uafhængige variabel \(x\) er \(n\).
-
• Den afhængige variabel \(f(x)\) er \(K_n\).
-
• Begyndelsesværdien \(b\) er \(K_0\).
-
• Vækstraten \(r\) er rentefoden som også betegnes med \(r\).
Vi har altså:
\[K_n=K_0(1+r)^n\]
Annuiteter
Annuitetsopsparinger og annuitetslån har det tilfælles, at der betales en fast ydelse. Mere generelt er en annuitet bare en række af ydelser som betales med lige store mellemrum:
Øverst ses antallet af ydelser vi har betalt og nederst på linjen ses den faste ydelse \(y\). Ved hver ydelse startes også en ny termin og der er en en fast rente pr. termin.
Fremtidsværdien af en annuitet
Vi mødte fremtidsværdien i forbindelse med annuitetsopsparing. Her beskrev fremtidsværdien det samlede beløb vi havde sparet op. Men hvad er det, rent matematisk, vi regner, når vi regner fremtidsværdien? Det kan vi se i
følgende definition:
På en tidslinje ligger fremtidsværdien \(A_n\) altså til slut som vist her:
Ud fra definitionen er det rimeligt klart at fremtidsværdien af en annuitet kan bruges til at regne resultatet af en opsparing, men lad os gøre det endnu mere klart ved at se på et eksempel. Antag at vi sætter \(100\) kr. ind på en
konto i \(3\) terminer i træk til en rente på \(10\%\) og hæver det hele umiddelbart efter den sidste indbetaling. Vi har altså tidslinjen:
Vi kan finde det beløb, vi hæver, ved at kigge på, hvor meget hver enkelt ydelse er vokset til. Den første ydelse når at trække renter to gange, inden vi hæver pengene ved sidste termin, og skal derfor fremskrives to gange:
Bidrag fra den første ydelse: \(100\cdot (1+0{,}1)^2=121\)
Den næste ydelse når at trække renter én gang og skal derfor fremskrive én gang.
Bidrag fra den anden ydelse: \(100\cdot (1+0{,}1)^1=110\)
Den sidste ydelse når slet ikke at trække nogle renter:
Bidrag fra den sidste ydelse: \(100\)
Den samlede opsparing er summen af bidragene:
Samlet opsparing: \(121+110+100 = 331\)
Vi ser, at den samlede opsparing (\(331\) kr.) kan findes som summen af ydelserne fremskrevet til sidste termin, hvilket var definitionen på fremtidsværdien \(A_n\). Vi tjekker om resultatet passer med formlen:
\[A_n=y\cdot \frac {(1+r)^n-1}{r}\]
Vi indsætter \(y=100\), \(n=3\) og \(r=0{,}1\):
\(\seteqnumber{0}{8.}{0}\)
\begin{align*}
A_{3} & =100\cdot \frac {(1+0{,}1)^{3}-1}{0{,}1}\\ & = 331
\end{align*}
Det passer hurra!
Nutidsværdien af en annuitet
Ligesom ved fremtidsværdien definerer vi nu nutidsværdien, så den også kan få en præcis matematisk betydning.
På en tidslinje ser det således ude:
Nutidsværdien er en anelse sværere at forstå. Lad os se på et eksempel, hvor vi betaler et ukendt lånebeløb tilbage. Lad os sige, at vi betaler lånet tilbage over tre indbetalinger på 100 kr. og at renten på lånet er \(10\%\) Tidslinjen
ser således ud:
Hvor meget har vi mon lånt? Igen kan vi analysere problemet ved at betragte hver ydelse for sig. Hver ydelse består af et lånebeløb og et rentebeløb. Vi starter med den første ydelse, som altså betales tilbage 1 termin efter lånets
optagelse. Derfor når lånebeløbet fra den første ydelse at få tilskrevet renter én gang. Lånebeløbet kan derfor findes ved at tilbageskrive ydelsen en enkelt gang:
Bidrag fra den første ydelse: \(100\cdot (1+0{,}1)^{-1}=90{,}9091\)
Den næste ydelse skal tilbageskrives to gange for at finde selve lånebeløbet hørende den ydelse:
Bidrag fra den anden ydelse: \(100\cdot (1+0{,}1)^{-2}=82{,}6446\)
Den sidste ydelse skal tilbageskrives tre gange:
Bidrag fra den sidste ydelse: \(100\cdot (1+0{,}1)^{-3}=75{,}1315\)
Vi finder nu det samlede lånebeløb:
Samlet lånebeløb: \(90{,}9091+82{,}6446+75{,}1315=248{,}69\)
Vi ser at altså at vi har lånt \(248{,}69\) kr. Vi tjekker med formlen:
\[A_0=y\cdot \frac {1-(1+r)^{-n}}{r}\]
Vi indsætter \(y=100\), \(n=3\) og \(r=0{,}1\):
\(\seteqnumber{0}{8.}{0}\)
\begin{align*}
A_0 & =100\cdot \frac {1-(1+0{,}1)^{-3}}{0{,}1} \\ & = 248{,}69
\end{align*}
Det passer hurra!
Atypiske opgaver
Når vi tænker på kapitalfremskrivning og fremtidsværdien af en annuitet, så tænker vi på opsparing. Når vi tænker på nutidsværdien af en annuitet, tænker vi på lån. Men som skrevet tidligere behøver det ikke at være sådan.
-
Eksempel 8.6.1
En mand har en pensionsopsparing på en million kr., som han får udbetalt over \(10\) år (\(120\) ydelser) til en rentefod pr. måned på \(r=0{,}005\). Vi ved, at vi har en annuitet, fordi der
er en fast ydelse. Men er det mon formlerne for fremtidsværdi eller nutidsværdi, vi skal have fat i? Ved at sammenligne med tidslinjerne kan vi se, at det nok er nutidsværdien, vi har. Han starter nemlig med at have en million, som
han får udbetalt i de terminer, der ligger efter. Vi skal altså bruge formlen for ydelsen ud fra nutidsværdien, rentefoden og antallet af ydelser:
\[y=\frac {A_0\cdot r}{1-(1+r)^{-n}}=\frac {1000000\cdot 0{,}005}{1-(1+0{,}005)^{-120}}=11102{,}05.\]
Altså får manden udbetalt \(11102{,}05\) kr. hver måned.
Ovenstående eksempel viser, at vi altså godt kan risikere at skulle bruge formlerne for nutidsværdi i forbindelse med en opsparing. Måske synes du, at argumentet med tidslinjerne er lidt tyndt og ja, hvis vi er grundige, bør vi
overveje, om situationen svarer til definitionen af nutidsværdi eller fremtidsværdi. I eksemplet har manden penge stående som trækker renter. Han kan derfor få mere end sin million udbetalt. Får at få udbetalt en \(11102{,}05\)
kr. en given måned, behøver han blot at have startet med et beløb som er vokset til \(11102{,}05\) kr. ved den pågældende måned. Hans million skal derfor svarer til alle ydelserne skrevet tilbage til start, altså nutidsværdien af
annuiteten.
Øvelse 8.6.1
Gleager opretter en konto i en bank og sætter \(100\) kr. ind pr måned.. Rentefoden er på \(0{,}0025\) pr. måned.
-
a) Hvor mange penge har Gleager efter \(10\) år?
-
b) Gleager har nu ikke råd til at sætte flere penge ind, så han lader pengene stå på kontoen i \(5\) år. Hvor mange penge har han så?
-
c) Gleager er nu totalt på røven. Han vælger derfor at få udbetalt \(100\) kr. hver måned. Bestem, hvor mange ydelser hans opsparing rækker til.
-
d) Hvor lang tid går der, før Gleager ikke har flere penge?
Øvelse 8.6.2
En studerende kan ikke få økonomien til at hænge sammen, så han tager et studielån, hvor han får udbetalt \(5.000\) kr. hver måned. Rentefoden er på \(0{,}5\%\) pr. måned.
