MATHHX B

MATHHX B

\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\) \(\def \LWRfootnote {1}\) \(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\let \LWRorighspace \hspace \) \(\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }\) \(\newcommand {\TextOrMath }[2]{#2}\) \(\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}\) \(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\) \(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \) \(\newcommand {\setlength }[2]{}\) \(\newcommand {\addtolength }[2]{}\) \(\newcommand {\setcounter }[2]{}\) \(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\) \(\newcommand {\arabic }[1]{}\) \(\newcommand {\number }[1]{}\) \(\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\newcommand {\cline }[1]{}\) \(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\protect }{}\) \(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\) \(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\) \(\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}\) \(\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }\) \(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\) \(\def \mathcode #1={\mathchar }\) \(\let \delcode \mathcode \) \(\let \delimiter \mathchar \) \(\def \oe {\unicode {x0153}}\) \(\def \OE {\unicode {x0152}}\) \(\def \ae {\unicode {x00E6}}\) \(\def \AE {\unicode {x00C6}}\) \(\def \aa {\unicode {x00E5}}\) \(\def \AA {\unicode {x00C5}}\) \(\def \o {\unicode {x00F8}}\) \(\def \O {\unicode {x00D8}}\) \(\def \l {\unicode {x0142}}\) \(\def \L {\unicode {x0141}}\) \(\def \ss {\unicode {x00DF}}\) \(\def \SS {\unicode {x1E9E}}\) \(\def \dag {\unicode {x2020}}\) \(\def \ddag {\unicode {x2021}}\) \(\def \P {\unicode {x00B6}}\) \(\def \copyright {\unicode {x00A9}}\) \(\def \pounds {\unicode {x00A3}}\) \(\let \LWRref \ref \) \(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\) \( \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}\) \(\require {textcomp}\) \(\require {colortbl}\) \(\let \LWRorigcolumncolor \columncolor \) \(\renewcommand {\columncolor }[2][named]{\LWRorigcolumncolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigrowcolor \rowcolor \) \(\renewcommand {\rowcolor }[2][named]{\LWRorigrowcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigcellcolor \cellcolor \) \(\renewcommand {\cellcolor }[2][named]{\LWRorigcellcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\newcommand {\tothe }[1]{^{#1}}\) \(\newcommand {\raiseto }[2]{{#2}^{#1}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxEND }{}\) \(\def \LWRsiunitxang #1;#2;#3;#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#1}{}{\num {#1}\degree }\ifblank {#2}{}{\num {#2}^{\unicode {x2032}}}\ifblank {#3}{}{\num {#3}^{\unicode {x2033}}}}\) \(\newcommand {\ang }[2][]{\LWRsiunitxang #2;;;\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxdistribunit {}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxENDTWO }{}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,#2,#3\LWRsiunitxENDTWO {\ifblank {#1}{0}{\mathrm {#1}}\ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\mathrm {#2}}}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsub #1.#2.#3\LWRsiunitxEND {\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,,\LWRsiunitxENDTWO \ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #2,,\LWRsiunitxENDTWO }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxprintdecimal }[1]{\LWRsiunitxprintdecimalsub #1...\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxnumplus #1+#2+#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}{\ifblank {#1}{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x02B}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumminus #1-#2-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumplus #1+++\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#1}{}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}\unicode {x02212}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm #2\pm #3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumminus #1---\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpm #1+-#2+-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm \pm \pm \LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxnumscientific }[2]{\ifblank {#1}{}{\ifstrequal {#1}{-}{-}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\times }}10^{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumD #1D#2D#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpm #1+-+-\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumd #1d#2d#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumD #1DDD\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumE #1E#2E#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumd #1ddd\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnume #1e#2e#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumE #1EEE\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumx #1x#2x#3x#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#3}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #3eee\LWRsiunitxEND }}}\) \(\newcommand {\num }[2][]{\LWRsiunitxnumx #2xxxxx\LWRsiunitxEND }\) \(\newcommand {\si }[2][]{\mathrm {\gsubstitute {#2}{~}{\,}}}\) \(\def \LWRsiunitxSIopt #1[#2]#3{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#3}}{#2}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxSI }[2]{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#2}}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\SI }[2][]{\ifnextchar [{\LWRsiunitxSIopt {#2}}{\LWRsiunitxSI {#2}}}\) \(\newcommand {\numlist }[2][]{\text {#2}}\) \(\newcommand {\numrange }[3][]{\num {#2}\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}}\) \(\newcommand {\SIlist }[3][]{\text {#2}\,\si {#3}}\) \(\newcommand {\SIrange }[4][]{\num {#2}\,#4\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}\,#4}\) \(\newcommand {\tablenum }[2][]{\mathrm {#2}}\) \(\newcommand {\ampere }{\mathrm {A}}\) \(\newcommand {\candela }{\mathrm {cd}}\) \(\newcommand {\kelvin }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\kilogram }{\mathrm {kg}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\mole }{\mathrm {mol}}\) \(\newcommand {\second }{\mathrm {s}}\) \(\newcommand {\becquerel }{\mathrm {Bq}}\) \(\newcommand {\degreeCelsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\coulomb }{\mathrm {C}}\) \(\newcommand {\farad }{\mathrm {F}}\) \(\newcommand {\gray }{\mathrm {Gy}}\) \(\newcommand {\hertz }{\mathrm {Hz}}\) \(\newcommand {\henry }{\mathrm {H}}\) \(\newcommand {\joule }{\mathrm {J}}\) \(\newcommand {\katal }{\mathrm {kat}}\) \(\newcommand {\lumen }{\mathrm {lm}}\) \(\newcommand {\lux }{\mathrm {lx}}\) \(\newcommand {\newton }{\mathrm {N}}\) \(\newcommand {\ohm }{\mathrm {\Omega }}\) \(\newcommand {\pascal }{\mathrm {Pa}}\) \(\newcommand {\radian }{\mathrm {rad}}\) \(\newcommand {\siemens }{\mathrm {S}}\) \(\newcommand {\sievert }{\mathrm {Sv}}\) \(\newcommand {\steradian }{\mathrm {sr}}\) \(\newcommand {\tesla }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\volt }{\mathrm {V}}\) \(\newcommand {\watt }{\mathrm {W}}\) \(\newcommand {\weber }{\mathrm {Wb}}\) \(\newcommand {\day }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\degree }{\mathrm {^\circ }}\) \(\newcommand {\hectare }{\mathrm {ha}}\) \(\newcommand {\hour }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\litre }{\mathrm {l}}\) \(\newcommand {\liter }{\mathrm {L}}\) \(\newcommand {\arcminute }{^\prime }\) \(\newcommand {\minute }{\mathrm {min}}\) \(\newcommand {\arcsecond }{^{\prime \prime }}\) \(\newcommand {\tonne }{\mathrm {t}}\) \(\newcommand {\astronomicalunit }{au}\) \(\newcommand {\atomicmassunit }{u}\) \(\newcommand {\bohr }{\mathit {a}_0}\) \(\newcommand {\clight }{\mathit {c}_0}\) \(\newcommand {\dalton }{\mathrm {D}_\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\electronmass }{\mathit {m}_{\mathrm {e}}}\) \(\newcommand {\electronvolt }{\mathrm {eV}}\) \(\newcommand {\elementarycharge }{\mathit {e}}\) \(\newcommand {\hartree }{\mathit {E}_{\mathrm {h}}}\) \(\newcommand {\planckbar }{\mathit {\unicode {x210F}}}\) \(\newcommand {\angstrom }{\mathrm {\unicode {x212B}}}\) \(\let \LWRorigbar \bar \) \(\newcommand {\barn }{\mathrm {b}}\) \(\newcommand {\bel }{\mathrm {B}}\) \(\newcommand {\decibel }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\knot }{\mathrm {kn}}\) \(\newcommand {\mmHg }{\mathrm {mmHg}}\) \(\newcommand {\nauticalmile }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\neper }{\mathrm {Np}}\) \(\newcommand {\yocto }{\mathrm {y}}\) \(\newcommand {\zepto }{\mathrm {z}}\) \(\newcommand {\atto }{\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\femto }{\mathrm {f}}\) \(\newcommand {\pico }{\mathrm {p}}\) \(\newcommand {\nano }{\mathrm {n}}\) \(\newcommand {\micro }{\mathrm {\unicode {x00B5}}}\) \(\newcommand {\milli }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\centi }{\mathrm {c}}\) \(\newcommand {\deci }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\deca }{\mathrm {da}}\) \(\newcommand {\hecto }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\kilo }{\mathrm {k}}\) \(\newcommand {\mega }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\giga }{\mathrm {G}}\) \(\newcommand {\tera }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\peta }{\mathrm {P}}\) \(\newcommand {\exa }{\mathrm {E}}\) \(\newcommand {\zetta }{\mathrm {Z}}\) \(\newcommand {\yotta }{\mathrm {Y}}\) \(\newcommand {\percent }{\mathrm {\%}}\) \(\newcommand {\meter }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\gram }{\mathrm {g}}\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\of }[1]{_{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\squared }{^2}\) \(\newcommand {\square }[1]{\mathrm {#1}^2}\) \(\newcommand {\cubed }{^3}\) \(\newcommand {\cubic }[1]{\mathrm {#1}^3}\) \(\newcommand {\per }{\,\mathrm {/}}\) \(\newcommand {\celsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\fg }{\femto \gram }\) \(\newcommand {\pg }{\pico \gram }\) \(\newcommand {\ng }{\nano \gram }\) \(\newcommand {\ug }{\micro \gram }\) \(\newcommand {\mg }{\milli \gram }\) \(\newcommand {\g }{\gram }\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\amu }{\mathrm {u}}\) \(\newcommand {\nm }{\nano \metre }\) \(\newcommand {\um }{\micro \metre }\) \(\newcommand {\mm }{\milli \metre }\) \(\newcommand {\cm }{\centi \metre }\) \(\newcommand {\dm }{\deci \metre }\) \(\newcommand {\m }{\metre }\) \(\newcommand {\km }{\kilo \metre }\) \(\newcommand {\as }{\atto \second }\) \(\newcommand {\fs }{\femto \second }\) \(\newcommand {\ps }{\pico \second }\) \(\newcommand {\ns }{\nano \second }\) \(\newcommand {\us }{\micro \second }\) \(\newcommand {\ms }{\milli \second }\) \(\newcommand {\s }{\second }\) \(\newcommand {\fmol }{\femto \mol }\) \(\newcommand {\pmol }{\pico \mol }\) \(\newcommand {\nmol }{\nano \mol }\) \(\newcommand {\umol }{\micro \mol }\) \(\newcommand {\mmol }{\milli \mol }\) \(\newcommand {\mol }{\mol }\) \(\newcommand {\kmol }{\kilo \mol }\) \(\newcommand {\pA }{\pico \ampere }\) \(\newcommand {\nA }{\nano \ampere }\) \(\newcommand {\uA }{\micro \ampere }\) \(\newcommand {\mA }{\milli \ampere }\) \(\newcommand {\A }{\ampere }\) \(\newcommand {\kA }{\kilo \ampere }\) \(\newcommand {\ul }{\micro \litre }\) \(\newcommand {\ml }{\milli \litre }\) \(\newcommand {\l }{\litre }\) \(\newcommand {\hl }{\hecto \litre }\) \(\newcommand {\uL }{\micro \liter }\) \(\newcommand {\mL }{\milli \liter }\) \(\newcommand {\L }{\liter }\) \(\newcommand {\hL }{\hecto \liter }\) \(\newcommand {\mHz }{\milli \hertz }\) \(\newcommand {\Hz }{\hertz }\) \(\newcommand {\kHz }{\kilo \hertz }\) \(\newcommand {\MHz }{\mega \hertz }\) \(\newcommand {\GHz }{\giga \hertz }\) \(\newcommand {\THz }{\tera \hertz }\) \(\newcommand {\mN }{\milli \newton }\) \(\newcommand {\N }{\newton }\) \(\newcommand {\kN }{\kilo \newton }\) \(\newcommand {\MN }{\mega \newton }\) \(\newcommand {\Pa }{\pascal }\) \(\newcommand {\kPa }{\kilo \pascal }\) \(\newcommand {\MPa }{\mega \pascal }\) \(\newcommand {\GPa }{\giga \pascal }\) \(\newcommand {\mohm }{\milli \ohm }\) \(\newcommand {\kohm }{\kilo \ohm }\) \(\newcommand {\Mohm }{\mega \ohm }\) \(\newcommand {\pV }{\pico \volt }\) \(\newcommand {\nV }{\nano \volt }\) \(\newcommand {\uV }{\micro \volt }\) \(\newcommand {\mV }{\milli \volt }\) \(\newcommand {\V }{\volt }\) \(\newcommand {\kV }{\kilo \volt }\) \(\newcommand {\W }{\watt }\) \(\newcommand {\uW }{\micro \watt }\) \(\newcommand {\mW }{\milli \watt }\) \(\newcommand {\kW }{\kilo \watt }\) \(\newcommand {\MW }{\mega \watt }\) \(\newcommand {\GW }{\giga \watt }\) \(\newcommand {\J }{\joule }\) \(\newcommand {\uJ }{\micro \joule }\) \(\newcommand {\mJ }{\milli \joule }\) \(\newcommand {\kJ }{\kilo \joule }\) \(\newcommand {\eV }{\electronvolt }\) \(\newcommand {\meV }{\milli \electronvolt }\) \(\newcommand {\keV }{\kilo \electronvolt }\) \(\newcommand {\MeV }{\mega \electronvolt }\) \(\newcommand {\GeV }{\giga \electronvolt }\) \(\newcommand {\TeV }{\tera \electronvolt }\) \(\newcommand {\kWh }{\kilo \watt \hour }\) \(\newcommand {\F }{\farad }\) \(\newcommand {\fF }{\femto \farad }\) \(\newcommand {\pF }{\pico \farad }\) \(\newcommand {\K }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\dB }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\kibi }{\mathrm {Ki}}\) \(\newcommand {\mebi }{\mathrm {Mi}}\) \(\newcommand {\gibi }{\mathrm {Gi}}\) \(\newcommand {\tebi }{\mathrm {Ti}}\) \(\newcommand {\pebi }{\mathrm {Pi}}\) \(\newcommand {\exbi }{\mathrm {Ei}}\) \(\newcommand {\zebi }{\mathrm {Zi}}\) \(\newcommand {\yobi }{\mathrm {Yi}}\) \(\let \unit \si \) \(\let \qty \SI \) \(\let \qtylist \SIlist \) \(\let \qtyrange \SIrange \) \(\let \numproduct \num \) \(\let \qtyproduct \SI \) \(\let \complexnum \num \) \(\newcommand {\complexqty }[3][]{(\complexnum {#2})\si {#3}}\) \(\newcommand {\mleft }{\left }\) \(\newcommand {\mright }{\right }\) \(\newcommand {\mleftright }{}\) \(\newcommand {\mleftrightrestore }{}\) \(\require {gensymb}\) \(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\let \Hat \hat \) \(\let \Check \check \) \(\let \Tilde \tilde \) \(\let \Acute \acute \) \(\let \Grave \grave \) \(\let \Dot \dot \) \(\let \Ddot \ddot \) \(\let \Breve \breve \) \(\let \Bar \bar \) \(\let \Vec \vec \) \(\require {cancel}\) \(\newcommand {\Dom }{\operatorname {Dom}}\) \(\newcommand {\Ran }{\operatorname {Ran}}\) \(\newcommand {\Dm }{\operatorname {Dm}}\) \(\newcommand {\Vm }{\operatorname {Vm}}\) \(\newcommand {\Var }{\operatorname {Var}}\) \(\newcommand {\SD }{\operatorname {SD}}\) \(\newcommand {\ExV }{\operatorname {E}}\) \(\newcommand {\opointtext }{\textcolor {blue}{\circ }}\) \(\newcommand {\cpointtext }{\textcolor {blue}{\bullet }}\) \(\newcommand {\vectwo }[2]{\begin {pmatrix} #1 \\ #2 \end {pmatrix}}\) \(\newcommand {\tcbset }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbsetforeverylayer }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbox }[2][]{\boxed {\text {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxfit }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcblower }{}\) \(\newcommand {\tcbline }{}\) \(\newcommand {\tcbtitle }{}\) \(\newcommand {\tcbsubtitle [2][]{\mathrm {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcbhighmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }\) \(\let \midrule \toprule \) \(\let \bottomrule \toprule \) \(\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}\) \(\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}\) \(\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }\) \(\newcommand {\morecmidrules }{}\) \(\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }\) \(\newcommand {\addlinespace }[1][]{}\) \(\def \LWRsiunitxrangephrase {\TextOrMath { }{\ }\protect \mbox {to (numerical range)}\TextOrMath { }{\ }}\) \(\def \LWRsiunitxdecimal {.}\)

2.5 Ekstrema og monotoniforhold

Et ekstremum (flertal: ekstrema) er en maksimal eller minimal funktionsværdi for en funktion. Funktionens monotoniforhold er en beskrivelse af, hvor den vokser og aftager. Lad os tage udgangspunkt i en konkret funktion \(f\):

(-tikz- diagram)

Vi vil nu bestemme ekstrema for \(f\) — altså de punkter hvor \(f\) har minimum og maksimum. Vi ser, at den mindste funktionsværdi findes i punktet \((2,1)\). Dette punkt kaldes et globalt minimum, fordi det er det mindste punkt på hele grafen. Vi skriver:

Funktionen \(f\) har globalt minimum i \(x=2\) med minimumsværdi \(1\).

Vi kigger nu på punktet \((1,2)\) Dette punkt er ikke det højeste punkt på hele grafen, men det er det højest punkt, når man begrænser sig til \(x\)-værdier tæt på \(x=1\). Derfor er det et lokalt maksimum. Vi skriver:

Funktionen \(f\) har lokalt maksimum i \(x=1\) med maksimumsværdi \(2\).

Nu kunne man tro, at funktionen havde globalt maksimum i \((4,5)\), men dette punkt ligger slet ikke på grafen, så det kan ikke være maksimum for funktionen. Funktionen har slet ikke noget globalt maksimum — uanset hvilket punkt vi vælger på grafen, kan vi altid finde et punkt, som ligger højere.

Her er ekstremumspunkterne vist på grafen:

(-tikz- diagram)

Vi bestemmer funktionens monotoniforhold ved at angive de intervaller på \(x\)-aksen, hvor funktionen er aftagende/voksende/konstant. Vi ser at grafen aftager, indtil vi når det globale minimum i \(x=2\), hvorefter den vokser, indtil den slutter ved \(x=4\). Vi skriver:

Funktionen \(f\) er aftagende på \([1;2]\).
Funktionen \(f\) er voksende på \([2,4[\).

Man kan undrer sig over, at \(2\) er med i begge monotoniintervaller. Men man kan også lade være med at undre sig og tænke: ”sådan er det nok bare”. Hvis du undrer dig, så tjek ekstraafsnittet til slut.

Her er det vist på grafen:

(-tikz- diagram)

Læg mærke til, at monotoniintervallerne er intervaller langs \(x\)-aksen.

En funktion, der hverken vokser eller aftager, siges at være konstant.

  • Eksempel 2.5.1
    Betragt grafen

    (-tikz- diagram)

    Vi bestemmer først ekstrema. Vi ser, at \((-3,1)\) er det laveste punkt på grafen, så vi konkluderer:

    Funktionen har globalt minimum i \(x=-3\) med minimumsværdi \(1\).

    Vi bestemmer nu monotoniforhold. Det er nemt, da funktionen er voksende over det hele. Vi kunne skrive at \(f\) er voksende på \([-3;\infty [\), men da der ikke er nogle skift i monotoniforholdene, skriver vi bare:

    Funktionen \(f\) er voksende.

  • Eksempel 2.5.2
    Vi vil bestemme monotoniforhold for funktion \(f\) med grafen:

    (-tikz- diagram)

    Vi ser, at funktionen hverken vokser eller aftager, dvs. den er konstant. Vi konkluderer:

    Funktionen \(f\) er konstant.

Øvelse 2.5.1

Betragt graferne:

(-tikz- diagram)

  • a) Bestem ekstrema for \(f\):

  • b) Bestem monotoniforhold for \(f\)

  • c) Bestem ekstrema for \(g\)

  • d) Bestem monotoniforhold for \(g\)

  • e) Bestem monotoniforhold for \(h\)

Løsning 2.5.1

  • a) Funktionen \(f\) har globalt maksimum i \(x=-2\) med maksimumsværdi \(4\).

  • b) Funktionen \(f\) er voksende på \(]-\infty ;-2]\)
    Funktionen \(f\) er aftagende på \([-2;\infty [\)

  • c) Funktionen \(g\) har globalt minimum i \(x=1\) med minimumsværdi \(-2\).
    Funktionen \(g\) har lokalt maksimum i \(x=4\) med maksimumsværdi \(4\).

  • d) Funktionen \(g\) er aftagende på \(]-\infty ;1]\) og \([4;5[\)
    Funktionen \(g\) er voksende på \([1;4]\)

  • e) \(h\) er konstant.

En funktion kan godt have flere globale ekstrema. At et punkt er et globalt maksimumspunkt, betyder bare, at der ikke er nogle punkter, som er højere. Tilsvarende med globale minima.

  • Eksempel 2.5.3
    Betragt grafen for en funktion \(f\)

    (-tikz- diagram)

    Funktionen \(f\) har globalt minimum i både \(x=1\) og \(x=4\). Minimumsværdien er \(2\).

Øvelse 2.5.2 (Svær)

Betragt grafen for funktionen \(f\):

(-tikz- diagram)

  • a) Bestem ekstrema for \(f\)

Løsning 2.5.2

  • a) Alle tal i definitionsmængden (\(\mathbb {R}\)) er globale minimum og maksimumssteder. Maksimums- og minimumsværdierne er alle \(-2\).

Ekstra

Vi skal nu se, hvorfor ekstremumsstedet hører med til begge monotoniintervaller. Det kræver, at vi bliver lidt mere præcise i forhold til, hvad vi forstår ved ”voksende” og ”aftagende, og vi skal derfor have fat i definitionen af disse begreber.

  • Definition 2.5.1
    En funktion \(f\) siges at være voksende på et interval \(I\), hvis der for alle \(x_1\in I\) og \(x_2\in I\) gælder, at \(f(x_2)> f(x_1)\) når \(x_2>x_1\).

    En funktion \(f\) siges at være aftagende på et interval \(I\), hvis der for alle \(x_1\in I\) og \(x_2\in I\) gælder, at \(f(x_2)< f(x_1)\) når \(x_2>x_1\).

    En funktion \(f\) siges at være konstant på et interval \(I\), hvis der for alle \(x_1\in I\) og \(x_2\in I\) gælder, at \(f(x_1)= f(x_2)\).

Så lad os sammenligne med grafen:

(-tikz- diagram)

Vi kan se, at hvis vi sætter \(I\) til at være \([1,2]\) og vælger et \(x_1\in I\) og et \(x_2\in I\), sådan at \(x_2>x_1\), ja så vil \(f(x_2)<f(x_1)\), og funktionen er dermed aftagende på \([1,2]\) ifølge definitionen. Betyder det, at funktionen er både aftagende og voksende på \(x=2\)? Ikke rigtigt, for ifølge definitionen skal man have et interval, før man kan være aftagende/voksende. Så det giver ikke mening at spørge, om den er aftagende/voksende i en enkelt \(x\)-værdi.

Vi kan også opskrive en præcis definition af ekstrema. Det er dog lidt bøvlet at definere de lokale ekstrema. Men læs definitionen, og spørg mig, hvis du ikke forstår den (medmindre du er ligeglad, om du forstår den). I definitionen bruges \(\cap \)-symbolet, som er forklaret i afsnit 1.10.

  • Definition 2.5.2

    En funktion \(f\) har globalt maksimum \(x_0\), hvis \(f(x_0)\geq f(x)\) for alle \(x\in \Dm (f)\).

    En funktion \(f\) har globalt minimum \(x_0\), hvis \(f(x_0)\leq f(x)\) for alle \(x\in \Dm (f)\).

    En funktion \(f\) har lokalt maksimum i \(x_0\), hvis der findes et åbent interval \(I\), indeholdende \(x_0\), så \(f(x_0)\geq f(x)\) for alle \(x\in I\cap \Dm (f)\).

    En funktion \(f\) har lokalt minimum i \(x_0\), hvis der findes et åbent interval \(I\), indeholdende \(x_0\), så \(f(x_0)\leq f(x)\) for alle \(x\in I\cap \Dm (f)\).