MATHHX B

MATHHX B

\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\) \(\def \LWRfootnote {1}\) \(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\let \LWRorighspace \hspace \) \(\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }\) \(\newcommand {\TextOrMath }[2]{#2}\) \(\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}\) \(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\) \(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \) \(\newcommand {\setlength }[2]{}\) \(\newcommand {\addtolength }[2]{}\) \(\newcommand {\setcounter }[2]{}\) \(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\) \(\newcommand {\arabic }[1]{}\) \(\newcommand {\number }[1]{}\) \(\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\newcommand {\cline }[1]{}\) \(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\protect }{}\) \(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\) \(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\) \(\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}\) \(\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }\) \(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\) \(\def \mathcode #1={\mathchar }\) \(\let \delcode \mathcode \) \(\let \delimiter \mathchar \) \(\def \oe {\unicode {x0153}}\) \(\def \OE {\unicode {x0152}}\) \(\def \ae {\unicode {x00E6}}\) \(\def \AE {\unicode {x00C6}}\) \(\def \aa {\unicode {x00E5}}\) \(\def \AA {\unicode {x00C5}}\) \(\def \o {\unicode {x00F8}}\) \(\def \O {\unicode {x00D8}}\) \(\def \l {\unicode {x0142}}\) \(\def \L {\unicode {x0141}}\) \(\def \ss {\unicode {x00DF}}\) \(\def \SS {\unicode {x1E9E}}\) \(\def \dag {\unicode {x2020}}\) \(\def \ddag {\unicode {x2021}}\) \(\def \P {\unicode {x00B6}}\) \(\def \copyright {\unicode {x00A9}}\) \(\def \pounds {\unicode {x00A3}}\) \(\let \LWRref \ref \) \(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\) \( \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}\) \(\require {textcomp}\) \(\require {colortbl}\) \(\let \LWRorigcolumncolor \columncolor \) \(\renewcommand {\columncolor }[2][named]{\LWRorigcolumncolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigrowcolor \rowcolor \) \(\renewcommand {\rowcolor }[2][named]{\LWRorigrowcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigcellcolor \cellcolor \) \(\renewcommand {\cellcolor }[2][named]{\LWRorigcellcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\newcommand {\tothe }[1]{^{#1}}\) \(\newcommand {\raiseto }[2]{{#2}^{#1}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxEND }{}\) \(\def \LWRsiunitxang #1;#2;#3;#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#1}{}{\num {#1}\degree }\ifblank {#2}{}{\num {#2}^{\unicode {x2032}}}\ifblank {#3}{}{\num {#3}^{\unicode {x2033}}}}\) \(\newcommand {\ang }[2][]{\LWRsiunitxang #2;;;\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxdistribunit {}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxENDTWO }{}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,#2,#3\LWRsiunitxENDTWO {\ifblank {#1}{0}{\mathrm {#1}}\ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\mathrm {#2}}}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsub #1.#2.#3\LWRsiunitxEND {\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,,\LWRsiunitxENDTWO \ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #2,,\LWRsiunitxENDTWO }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxprintdecimal }[1]{\LWRsiunitxprintdecimalsub #1...\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxnumplus #1+#2+#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}{\ifblank {#1}{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x02B}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumminus #1-#2-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumplus #1+++\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#1}{}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}\unicode {x02212}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm #2\pm #3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumminus #1---\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpm #1+-#2+-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm \pm \pm \LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxnumscientific }[2]{\ifblank {#1}{}{\ifstrequal {#1}{-}{-}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\times }}10^{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumD #1D#2D#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpm #1+-+-\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumd #1d#2d#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumD #1DDD\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumE #1E#2E#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumd #1ddd\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnume #1e#2e#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumE #1EEE\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumx #1x#2x#3x#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#3}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #3eee\LWRsiunitxEND }}}\) \(\newcommand {\num }[2][]{\LWRsiunitxnumx #2xxxxx\LWRsiunitxEND }\) \(\newcommand {\si }[2][]{\mathrm {\gsubstitute {#2}{~}{\,}}}\) \(\def \LWRsiunitxSIopt #1[#2]#3{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#3}}{#2}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxSI }[2]{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#2}}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\SI }[2][]{\ifnextchar [{\LWRsiunitxSIopt {#2}}{\LWRsiunitxSI {#2}}}\) \(\newcommand {\numlist }[2][]{\text {#2}}\) \(\newcommand {\numrange }[3][]{\num {#2}\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}}\) \(\newcommand {\SIlist }[3][]{\text {#2}\,\si {#3}}\) \(\newcommand {\SIrange }[4][]{\num {#2}\,#4\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}\,#4}\) \(\newcommand {\tablenum }[2][]{\mathrm {#2}}\) \(\newcommand {\ampere }{\mathrm {A}}\) \(\newcommand {\candela }{\mathrm {cd}}\) \(\newcommand {\kelvin }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\kilogram }{\mathrm {kg}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\mole }{\mathrm {mol}}\) \(\newcommand {\second }{\mathrm {s}}\) \(\newcommand {\becquerel }{\mathrm {Bq}}\) \(\newcommand {\degreeCelsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\coulomb }{\mathrm {C}}\) \(\newcommand {\farad }{\mathrm {F}}\) \(\newcommand {\gray }{\mathrm {Gy}}\) \(\newcommand {\hertz }{\mathrm {Hz}}\) \(\newcommand {\henry }{\mathrm {H}}\) \(\newcommand {\joule }{\mathrm {J}}\) \(\newcommand {\katal }{\mathrm {kat}}\) \(\newcommand {\lumen }{\mathrm {lm}}\) \(\newcommand {\lux }{\mathrm {lx}}\) \(\newcommand {\newton }{\mathrm {N}}\) \(\newcommand {\ohm }{\mathrm {\Omega }}\) \(\newcommand {\pascal }{\mathrm {Pa}}\) \(\newcommand {\radian }{\mathrm {rad}}\) \(\newcommand {\siemens }{\mathrm {S}}\) \(\newcommand {\sievert }{\mathrm {Sv}}\) \(\newcommand {\steradian }{\mathrm {sr}}\) \(\newcommand {\tesla }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\volt }{\mathrm {V}}\) \(\newcommand {\watt }{\mathrm {W}}\) \(\newcommand {\weber }{\mathrm {Wb}}\) \(\newcommand {\day }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\degree }{\mathrm {^\circ }}\) \(\newcommand {\hectare }{\mathrm {ha}}\) \(\newcommand {\hour }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\litre }{\mathrm {l}}\) \(\newcommand {\liter }{\mathrm {L}}\) \(\newcommand {\arcminute }{^\prime }\) \(\newcommand {\minute }{\mathrm {min}}\) \(\newcommand {\arcsecond }{^{\prime \prime }}\) \(\newcommand {\tonne }{\mathrm {t}}\) \(\newcommand {\astronomicalunit }{au}\) \(\newcommand {\atomicmassunit }{u}\) \(\newcommand {\bohr }{\mathit {a}_0}\) \(\newcommand {\clight }{\mathit {c}_0}\) \(\newcommand {\dalton }{\mathrm {D}_\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\electronmass }{\mathit {m}_{\mathrm {e}}}\) \(\newcommand {\electronvolt }{\mathrm {eV}}\) \(\newcommand {\elementarycharge }{\mathit {e}}\) \(\newcommand {\hartree }{\mathit {E}_{\mathrm {h}}}\) \(\newcommand {\planckbar }{\mathit {\unicode {x210F}}}\) \(\newcommand {\angstrom }{\mathrm {\unicode {x212B}}}\) \(\let \LWRorigbar \bar \) \(\newcommand {\barn }{\mathrm {b}}\) \(\newcommand {\bel }{\mathrm {B}}\) \(\newcommand {\decibel }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\knot }{\mathrm {kn}}\) \(\newcommand {\mmHg }{\mathrm {mmHg}}\) \(\newcommand {\nauticalmile }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\neper }{\mathrm {Np}}\) \(\newcommand {\yocto }{\mathrm {y}}\) \(\newcommand {\zepto }{\mathrm {z}}\) \(\newcommand {\atto }{\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\femto }{\mathrm {f}}\) \(\newcommand {\pico }{\mathrm {p}}\) \(\newcommand {\nano }{\mathrm {n}}\) \(\newcommand {\micro }{\mathrm {\unicode {x00B5}}}\) \(\newcommand {\milli }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\centi }{\mathrm {c}}\) \(\newcommand {\deci }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\deca }{\mathrm {da}}\) \(\newcommand {\hecto }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\kilo }{\mathrm {k}}\) \(\newcommand {\mega }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\giga }{\mathrm {G}}\) \(\newcommand {\tera }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\peta }{\mathrm {P}}\) \(\newcommand {\exa }{\mathrm {E}}\) \(\newcommand {\zetta }{\mathrm {Z}}\) \(\newcommand {\yotta }{\mathrm {Y}}\) \(\newcommand {\percent }{\mathrm {\%}}\) \(\newcommand {\meter }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\gram }{\mathrm {g}}\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\of }[1]{_{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\squared }{^2}\) \(\newcommand {\square }[1]{\mathrm {#1}^2}\) \(\newcommand {\cubed }{^3}\) \(\newcommand {\cubic }[1]{\mathrm {#1}^3}\) \(\newcommand {\per }{\,\mathrm {/}}\) \(\newcommand {\celsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\fg }{\femto \gram }\) \(\newcommand {\pg }{\pico \gram }\) \(\newcommand {\ng }{\nano \gram }\) \(\newcommand {\ug }{\micro \gram }\) \(\newcommand {\mg }{\milli \gram }\) \(\newcommand {\g }{\gram }\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\amu }{\mathrm {u}}\) \(\newcommand {\nm }{\nano \metre }\) \(\newcommand {\um }{\micro \metre }\) \(\newcommand {\mm }{\milli \metre }\) \(\newcommand {\cm }{\centi \metre }\) \(\newcommand {\dm }{\deci \metre }\) \(\newcommand {\m }{\metre }\) \(\newcommand {\km }{\kilo \metre }\) \(\newcommand {\as }{\atto \second }\) \(\newcommand {\fs }{\femto \second }\) \(\newcommand {\ps }{\pico \second }\) \(\newcommand {\ns }{\nano \second }\) \(\newcommand {\us }{\micro \second }\) \(\newcommand {\ms }{\milli \second }\) \(\newcommand {\s }{\second }\) \(\newcommand {\fmol }{\femto \mol }\) \(\newcommand {\pmol }{\pico \mol }\) \(\newcommand {\nmol }{\nano \mol }\) \(\newcommand {\umol }{\micro \mol }\) \(\newcommand {\mmol }{\milli \mol }\) \(\newcommand {\mol }{\mol }\) \(\newcommand {\kmol }{\kilo \mol }\) \(\newcommand {\pA }{\pico \ampere }\) \(\newcommand {\nA }{\nano \ampere }\) \(\newcommand {\uA }{\micro \ampere }\) \(\newcommand {\mA }{\milli \ampere }\) \(\newcommand {\A }{\ampere }\) \(\newcommand {\kA }{\kilo \ampere }\) \(\newcommand {\ul }{\micro \litre }\) \(\newcommand {\ml }{\milli \litre }\) \(\newcommand {\l }{\litre }\) \(\newcommand {\hl }{\hecto \litre }\) \(\newcommand {\uL }{\micro \liter }\) \(\newcommand {\mL }{\milli \liter }\) \(\newcommand {\L }{\liter }\) \(\newcommand {\hL }{\hecto \liter }\) \(\newcommand {\mHz }{\milli \hertz }\) \(\newcommand {\Hz }{\hertz }\) \(\newcommand {\kHz }{\kilo \hertz }\) \(\newcommand {\MHz }{\mega \hertz }\) \(\newcommand {\GHz }{\giga \hertz }\) \(\newcommand {\THz }{\tera \hertz }\) \(\newcommand {\mN }{\milli \newton }\) \(\newcommand {\N }{\newton }\) \(\newcommand {\kN }{\kilo \newton }\) \(\newcommand {\MN }{\mega \newton }\) \(\newcommand {\Pa }{\pascal }\) \(\newcommand {\kPa }{\kilo \pascal }\) \(\newcommand {\MPa }{\mega \pascal }\) \(\newcommand {\GPa }{\giga \pascal }\) \(\newcommand {\mohm }{\milli \ohm }\) \(\newcommand {\kohm }{\kilo \ohm }\) \(\newcommand {\Mohm }{\mega \ohm }\) \(\newcommand {\pV }{\pico \volt }\) \(\newcommand {\nV }{\nano \volt }\) \(\newcommand {\uV }{\micro \volt }\) \(\newcommand {\mV }{\milli \volt }\) \(\newcommand {\V }{\volt }\) \(\newcommand {\kV }{\kilo \volt }\) \(\newcommand {\W }{\watt }\) \(\newcommand {\uW }{\micro \watt }\) \(\newcommand {\mW }{\milli \watt }\) \(\newcommand {\kW }{\kilo \watt }\) \(\newcommand {\MW }{\mega \watt }\) \(\newcommand {\GW }{\giga \watt }\) \(\newcommand {\J }{\joule }\) \(\newcommand {\uJ }{\micro \joule }\) \(\newcommand {\mJ }{\milli \joule }\) \(\newcommand {\kJ }{\kilo \joule }\) \(\newcommand {\eV }{\electronvolt }\) \(\newcommand {\meV }{\milli \electronvolt }\) \(\newcommand {\keV }{\kilo \electronvolt }\) \(\newcommand {\MeV }{\mega \electronvolt }\) \(\newcommand {\GeV }{\giga \electronvolt }\) \(\newcommand {\TeV }{\tera \electronvolt }\) \(\newcommand {\kWh }{\kilo \watt \hour }\) \(\newcommand {\F }{\farad }\) \(\newcommand {\fF }{\femto \farad }\) \(\newcommand {\pF }{\pico \farad }\) \(\newcommand {\K }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\dB }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\kibi }{\mathrm {Ki}}\) \(\newcommand {\mebi }{\mathrm {Mi}}\) \(\newcommand {\gibi }{\mathrm {Gi}}\) \(\newcommand {\tebi }{\mathrm {Ti}}\) \(\newcommand {\pebi }{\mathrm {Pi}}\) \(\newcommand {\exbi }{\mathrm {Ei}}\) \(\newcommand {\zebi }{\mathrm {Zi}}\) \(\newcommand {\yobi }{\mathrm {Yi}}\) \(\let \unit \si \) \(\let \qty \SI \) \(\let \qtylist \SIlist \) \(\let \qtyrange \SIrange \) \(\let \numproduct \num \) \(\let \qtyproduct \SI \) \(\let \complexnum \num \) \(\newcommand {\complexqty }[3][]{(\complexnum {#2})\si {#3}}\) \(\newcommand {\mleft }{\left }\) \(\newcommand {\mright }{\right }\) \(\newcommand {\mleftright }{}\) \(\newcommand {\mleftrightrestore }{}\) \(\require {gensymb}\) \(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\let \Hat \hat \) \(\let \Check \check \) \(\let \Tilde \tilde \) \(\let \Acute \acute \) \(\let \Grave \grave \) \(\let \Dot \dot \) \(\let \Ddot \ddot \) \(\let \Breve \breve \) \(\let \Bar \bar \) \(\let \Vec \vec \) \(\require {cancel}\) \(\newcommand {\mathred }[1]{\textcolor [rgb]{1, 0, 0}{#1}}\) \(\newcommand {\mathgreen }[1]{\textcolor [rgb]{0,0.5,0}{#1}}\) \(\newcommand {\mathblue }[1]{\textcolor [rgb]{0,0,1}{#1}}\) \(\newcommand {\mathorange }[1]{\textcolor [rgb]{1,0.5,0}{#1}}\) \(\newcommand {\mathmagenta }[1]{\textcolor [cmyk]{0, 1, 1, 0.33}{#1}}\) \( \newcommand \ccancel [2][red]{\renewcommand \CancelColor {\color {#1}}\cancel {#2}} \) \(\newcommand {\Dom }{\operatorname {Dom}}\) \(\newcommand {\Ran }{\operatorname {Ran}}\) \(\newcommand {\Dm }{\operatorname {Dm}}\) \(\newcommand {\Vm }{\operatorname {Vm}}\) \(\newcommand {\Var }{\operatorname {Var}}\) \(\newcommand {\SD }{\operatorname {SD}}\) \(\newcommand {\ExV }{\operatorname {E}}\) \(\newcommand {\opointtext }{\textcolor {blue}{\circ }}\) \(\newcommand {\cpointtext }{\textcolor {blue}{\bullet }}\) \(\newcommand {\vectwo }[2]{\begin {pmatrix} #1 \\ #2 \end {pmatrix}}\) \(\newcommand {\tcbset }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbsetforeverylayer }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbox }[2][]{\boxed {\text {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxfit }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcblower }{}\) \(\newcommand {\tcbline }{}\) \(\newcommand {\tcbtitle }{}\) \(\newcommand {\tcbsubtitle [2][]{\mathrm {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcbhighmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }\) \(\let \midrule \toprule \) \(\let \bottomrule \toprule \) \(\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}\) \(\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}\) \(\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }\) \(\newcommand {\morecmidrules }{}\) \(\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }\) \(\newcommand {\addlinespace }[1][]{}\) \(\def \LWRsiunitxrangephrase {\TextOrMath { }{\ }\protect \mbox {to (numerical range)}\TextOrMath { }{\ }}\) \(\def \LWRsiunitxdecimal {.}\)

1.2 Bogstavregning

Gymnasiematematik er mere abstrakt end folkeskolematematik. Vi kommer til at regne meget med bogstaver, så det er vigtigt at få en god forståelse for bogstavregning fra starten af. Mange elever har svært ved bogstavregning. Det ved vi lærere godt, så spørg os og vi hjælper!

  • Eksempel 1.2.1
    Her er et udtryk med bogstaver:

    \[\frac {a+7}{b}-a\]

    Bogstaverne \(a\) og \(b\) står for tal, som vi ikke kender. Derfor kan vi ikke regne udtrykkets værdi.

    Lad os sige, at vi får at vide, at \(a=-2\) og \(b=5\). Nu kan vi regne værdien af udtrykket ved at erstatte \(a\) med \(-2\) og \(b\) med \(5\):

    \begin{align*} \frac {a+7}{b}-a & =\frac {-2+7}{5} -(-2)\\[10pt] & =\frac {5}{5}+2\\[10pt] & =1+2\\ & = 3 \end{align*} Læg mærke til parentesen om \(-2\) i første linje.

Når vi regner med bogstaver, vil vi ofte undlade gangetegn. F.eks. vil vi skrive \(2a\) i stedet for \(2\cdot a\) og \(ab\) i stedet for \(a\cdot b\).

Øvelse 1.2.1

Lad \(a=3\) og \(b=-1\). Regn værdien af udtrykkene:

  • a) \(a+b\)

  • b) \(a-b\)

  • c) \(2b\)

  • d) \(ab\)

Øvelse 1.2.1

  • a) \(a+b=2\)

  • b) \(a-b=4\)

  • c) \(2b=-2\)

  • d) \(ab=-3\)

Reduktion

Kender man ikke værdien af bogstaverne i et udtryk, kan man ikke regne det. Men nogle gange kan man forsimple det. Det kaldes at reducere.

  • Eksempel 1.2.2
    Vi vil reducere udtrykket \(a+b+2a-a\). Vi kan se, at \(a\) går ud med \(-a\) så:

    \[a+b+2a-a=2a+b\]

Øvelse 1.2.2

Reducer:

  • a) \(b+c-2a+a-c\)

  • b) \(a+a+a\)

  • c) \(b+x-x-b\)

Øvelse 1.2.2

  • a) \(b-a\)

  • b) \(3a\)

  • c) \(0\)

  • Eksempel 1.2.3
    Vi reducerer:

    \begin{align*} a+ab+ba-b & = a+2ab- b && (\textrm {fordi } ab=ba)\\ \end{align*}

Øvelse 1.2.3

Reducer:

  • a) \(ab-a+a-2b+b\)

  • b) \(bc+cb\)

  • c) \(ab+ab+ba\)

Øvelse 1.2.3

  • a) \(ab-b\)

  • b) \(2bc\)

  • c) \(3ab\)

Parenteser

Vi husker at en parentes betyder, at man skal regne det, som står i parentesen først. Men når der optræder bogstaver i regnestykket, kan man ikke altid regne parentesen først. Så kan man i stedet benytte følgende regler til at hæve parentesen (dvs. fjerne parentesen):

  • Man ganger ind i parenteser ved at gange i hvert led.

  • Plusparenteser er overflødige og kan bare fjernes

  • Minusparenteser hæves ved at skifte fortegn på det, der står inde i parentesen. Altså plus bliver til minus og omvendt.

  • Eksempel 1.2.4
    Vi reducerer:

    • a) \(2(a+b)= 2a+2b\)

    • b) \(a(b-c)= ab-ac\)

    • c) \(5+(a-2)=5+a-2= a+3\)

    • d) \(-(x+y)= -x-y\)

    • e) \(-(2-a)=-2+a= a-2\)

Øvelse 1.2.4

Reducer:

  • a) \(3(x+y)\)

  • b) \((a-b)2\)

  • c) \(2+(x+y)-3\)

  • d) \(-(v+w)\)

  • e) \(a(2b+b)-ba-(2a-2)\)

Øvelse 1.2.4

  • a) \(3x+3y\)

  • b) \(2a-2b\)

  • c) \(x+y-1\)

  • d) \(-v-w\)

  • e) \(2ab-2a+2\)

Øvelse 1.2.5

To elever diskuterer, hvordan man regner udtrykket:

\[7(3+1)\]

Elev 1 siger: “Man skal starte med at regne det inde i parentesen og derefter gange med \(7.\)”

Elev 2 siger: “Man skal gange parentesen ud og så reducere.”

  • a) Hvem har ret?

Øvelse 1.2.5

  • a) Begge metoder vil virke. Men elev 1’s metode er simplere i dette tilfælde. Havde der været bogstaver i parentesen skulle vi bruge Elev 2’s metode.

Vi slutter af med to ekstraafsnit. Husk, at man kan springe disse afsnit over, hvis man har svært ved matematik. Det første ekstraafsnit forudsætter, at du har regnet afsnit 1.1. Det er et vigtigt afsnit, hvis du gerne vil have en solid forståelse.

Brøker med bogstaver (E)

Når vi fremover støder på brøker, så vil de ofte være med bogstaver i stedet for tal. Det er dog præcis de samme regler, der gælder.

Forlænge og forkorte
  • Eksempel 1.2.5
    Vi vil forlænge brøken \(\frac {a+b}{c}\) med \(5\):

    \[\frac {a+b}{c}=\frac {5(a+b)}{5c}=\frac {5a+5b}{5c}\]

    Læg mærke til parentesen efter første lighedstegn. Det er en almindelig fejl, at man glemmer den. Glemmer man den, får man ikke ganget hele tælleren med \(5\), men kun første del.

  • Eksempel 1.2.6
    Vi vil forkorte brøken \(\frac {2a}{4ab}\):

    \[\frac {2a}{4ab}=\frac {2a\cdot 1}{2a\cdot 2b}=\frac {\ccancel {2a}\cdot 1}{\ccancel {2a}\cdot 2b}=\frac {1}{2b}\]

Hvis der optræder flere led tæller eller nævner, skal man forkorte i hvert led.

  • Eksempel 1.2.7
    Vi vil forkorte brøken \(\frac {2a+7a^2}{ab}\):

    \[\frac {2a+7a^2}{ab}=\frac {2a+7aa}{ab}=\frac {2\ccancel {a}+7a\ccancel {a}}{\ccancel {a}b}=\frac {2+7a}{b}\]

Øvelse 1.2.6

Regn

  • a) Forlæng brøken \(\frac {a+1}{b}\) med \(c\).

  • b) Forkort brøken \(\frac {ab}{bc}\).

  • c) Forkort brøken \(\frac {ab}{b}\)

  • d) Forkort brøken \(\frac {ab+ac-a^3}{2a^2+a}\)

Øvelse 1.2.6

  • a) \(\frac {ac+c}{bc}\)

  • b) \(\frac {a}{c}\)

  • c) \(a\)

  • d) \(\frac {b+c-a^2}{2a+1}\)

Plus og minus
  • Eksempel 1.2.8
    Vi vil regne \(\frac {2a+b}{a}+\frac {4}{b}\). Vi forlænger første brøk med \(b\) og anden brøk med \(a\):

    \begin{align*} \frac {2a+b}{a}+\frac {4}{b}&=\frac {(2a+b)b}{ab}+\frac {4a}{ab}\\ &=\frac {(2a+b)b+4a}{ab}\\ &=\frac {2ab+b^2+4a}{ab} \end{align*}

  • Eksempel 1.2.9
    Vi vil regne \(\frac {a}{b}+c\)

    \begin{align*} \frac {a}{b}+c & = \frac {a}{b}+\frac {c}{1}\\ &=\frac {a}{b}+\frac {c\cdot b}{1\cdot b}\\ &=\frac {a}{b}+\frac {bc}{b}\\ &=\frac {a+bc}{b} \end{align*}

Øvelse 1.2.7

Regn

  • a) \(\frac {a}{b}+\frac {c}{b}\)

  • b) \(\frac {a}{b}+\frac {b}{a}\)

  • c) \(\frac {a}{b}-2\)

  • d) \(\frac {b^2}{4a^2}-\frac {c}{a}\)

Øvelse 1.2.7

  • a) \(\frac {a}{b}+\frac {c}{b}=\frac {a+c}{b}\)

  • b) \(\frac {a}{b}+\frac {b}{a}=\frac {a^2+b^2}{ab}\)

  • c) \(\frac {a}{b}-2=\frac {a-2b}{b}\)

  • d) \(\frac {b^2}{4a^2}-\frac {c}{a}=\frac {b^2-4ac}{4a^2}\)

Gange og dividere

Når man ganger brøker, som har flere led i tælleren, skal man huske at sætte parenteser.

  • Eksempel 1.2.10
    Vi vil regne \(a\cdot \frac {b+c}{b}\):

    \[a\cdot \frac {b+c}{b}=\frac {a(b+c)}{b}=\frac {ab+ac}{b}\]

Øvelse 1.2.8

Regn:

  • a) \(\frac {a+b}{c}\cdot \frac {a}{b}\)

  • b) \(\frac {a+2}{b}\cdot a\)

  • c) \(\frac {\ \frac {2}{a}\ }{b}\)

  • d) \(\frac {\ a\ }{\frac {2}{a}}\)

  • e) \(\frac {\ \frac {3+a}{b}\ }{\frac {a}{b}}\)

  • f) \(\frac {1}{\frac {1}{y}}\)

Øvelse 1.2.8

  • a) \(\frac {a+b}{c}\cdot \frac {a}{b}=\frac {a^2+ab}{bc}\)

  • b) \(\frac {a+2}{b}\cdot a = \frac {a^2+2a}{b}\)

  • c) \(\frac {\ \frac {2}{a}\ }{b}=\frac {2}{ab}\)

  • d) \(\frac {\ a\ }{\frac {2}{a}}=\frac {a^2}{2}\)

  • e) \(\frac {\ \frac {3+a}{b}\ }{\frac {a}{b}}= \frac {3+a}{a}\)

  • f) \(\frac {1}{\frac {1}{y}}=y\)

Korrekt sprogbrug (E)

I dette ekstraafsnit skal vi lære at sætte ord på de forskellige dele af et matematisk udtryk.

Sum, differens og led

En sum er det samme som et plusstykke. Det kunne være:

\[a+b+c\]

Her kaldes \(a,b,c\) for led. En sum består altså af to eller flere led adskilt af et plustegn. En differens er det samme som et minusstykke:

\[a-b\]

Her kaldes \(a\) og \(b\) også for led.

Produkt, faktorer

Et produkt er et det samme som et gangestykke. Det kunne være:

\[a\cdot b\cdot c\cdot d\]

Her kaldes \(a,b,c\) og \(d\) for faktorer. Et produkt består altså af to eller flere faktorer adskilt af gangetegn. Vi skriver ofte produkter uden gangetegn, så ovenstående produkt kunne skrives som:

\[abcd\]

Potens, grundtal og eksponent

En potens er et udtryk på formen

\[a^p\]

Her kaldes \(a\) for grundtallet og \(p\) for eksponenten.

  • Eksempel 1.2.11
    Betragt udtrykket:

    \[a(b+c)\]

    Dette betyder \(a\cdot (b+c)\), og derfor er det et produkt bestående af faktorerne \(a\) og \((b+c)\). Den anden faktor, altså \((b+c)\), er en sum bestående af de to led \(b\) og \(c\).

Øvelse 1.2.9

Forklar, hvordan udtrykkene er opbygget.

  • a) \(2ab\)

  • b) \(a-ab\)

  • c) \(q^p\)

Øvelse 1.2.9

  • a) Det er et produkt bestående af faktorerne \(2\), \(a\) og \(b\).

  • b) Det er en differens bestående af leddene \(a\) og \(ab\). Det sidste led er et produkt bestående af faktorerne \(a\) og \(b\).

  • c) Det er en potens, hvor grundtallet er \(q\), og eksponenten er \(p\).

Udtryk og udsagn

Et udtryk er et ”noget som har en værdi” som f.eks. \(2a+b\) (værdien af dette udtryk afhænger værdien af \(a\) og \(b\)). Et udsagn er ”noget som har en sandhedsværdi”. Det kunne f.eks. være en ligning eller en ulighed.

  • Eksempel 1.2.12
    Følgende er udtryk:

    • \(2+2\)

    • \(3a\)

    • \(\frac {\sqrt {2x+1}}{4}\)

    Følgende er udsagn:

    • \(2=5\)

    • \(x+5=2\)

    • \(2x+5<5(x+2)\)

    Vi ser at det første udsagn er falsk, mens af sandhedsværdien af de to sidste udsagn afhænger af, hvilken \(x\) har.

Øvelse 1.2.10

Bestem om følgende er udsagn eller udtryk

  • a) \(2=4+x\)

  • b) \(2\geq 7\)

  • c) \(x^2\)

  • d) \(x\)

Øvelse 1.2.10

  • a) Udsagn

  • b) Udsagn

  • c) Udtryk

  • d) Udtryk