I dette afsnit skal vi se på, hvordan man laver konfidensintervaller for middelværdien i en normalfordeling.
Konfidensintervaller i GeoGebra
Vi bliver ved vores æbleplantage, men nu er vi ikke længere interesserede i andelen af dårlige æbler, vi er interesseret i gennemsnitsvægten. Vi antager at æblernes vægt er normalfordelt med middelværdi \(\mu \) og
standardafvigelse \(\sigma \), og vi vil altså gerne finde \(\mu \). Vi udtager en stikprøve og gennemsnitsvægten i stikprøven er et estimat for populationens (alle æblerne i plantagen) gennemsnitsvægt. Vil vi bestemme et
konfidensinterval for gennemsnitsvægten, har vi også brug for at kende populationens standardafvigelsen. Typisk er den ikke kendt på forhånd, hvilket betyder, at vi må estimere den. Her sker der noget overraskende. Stikprøvens
standardafvigelse er ikke et (godt) estimat for populationens standardafvigelse. Man kommer generelt til at skyde for lavt, hvis man bruger stikprøvens standardafvigelse som estimat for populations standardafvigelse. I stedet skal
man regne stikprøve-standardafvigelse. Det kan man gøre i Excel med kommandoen:
\[\verb |STDAFV.S|\]
Vi betegner estimatet for populations middelværdi med \(\hat {\mu }\) og estimatet for populationens standardafvigelse med \(\hat {\sigma }\).
Eksempel 16.2.1 Antag, at vi har en stikprøve fra en normalfordelt population. Stikprøven består af tallene: \(14,15,19\)
Vi regner et estimat for populationens middelværdi og standardafvigelse i Excel:
Vi har altså estimaterne \(\hat {\mu }=16\) og \(\hat {\sigma }=2{,}65\).
Middelværdien har jeg fundet med kommandoen MIDDEL og standardafvigelsen er fundet som med kommandoen \(\verb |STDAFV.S|\) som vist i screenshottet.
Øvelse 16.2.1
Antag, at vi har en stikprøve fra en population. Stikprøven består af tallene: \(1, 5, 7, 11\)
a) Bestem et estimat for populationens middelværdi
b) Bestem et estimat for populationens standardafvigelse
Løsning 16.2.1
a) \(\hat {\mu }=6\)
b) \(\hat {\sigma }=4{,}16\)
I eksempel 16.2.1 fandt vi et estimat for middelværdien ud fra en stikprøve. Ud fra dem kan vi bestemme et konfidensinterval for
middelværdien
Eksempel 16.2.2 Vi vi bestemme et \(95\%\)-konfidensinterval for middelværdien af populationen fra eksempel 16.2.1. I
eksemplet fandt vi estimaterne \(\hat {\mu }=16\) og \(\hat {\sigma }=2{,}65\). Vi åbner sandsynlighedslommeregneren i GeoGebra og vælger først ”statistik” og derefter ”t-interval af middel”:
Ud over konfidensniveauet, skal vi taste tre tal for at finde konfidensintervallet:
Middel:
Estimat for middelværdien. I vores tilfælde: \(16\)
s:
Estimat for standardafvigelsen. I vores tilfælde \(2{,}65\)
N:
Antallet af observationer. I vores tilfælde: \(3\)
Det taster vi og får:
Konfidensintervallet er det lukkede interval mellem den nedre og øvre grænse markeret i screenshottet. Altså intervallet:
\[[9{,}4; 22{,}6]\]
I eksemplet fandt vi \(95\%\)-konfidensintervallet \([9{,}4; 22{,}6]\). Det betyder at vi kan være \(95\%\) sikre på at middelværdien for populationen ligger i intervallet. Vores bedste bud på middelværdien for populationen er
\(16\), men det er et usikkert estimat. Skal vi udtale os med større sikkerhed, må vi begrænse til at sige, at middelværdien ligger i intervallet \([9{,}4; 22{,}6]\). Det kan vi så til gengæld være \(95\%\) sikre på at er rigtigt.
Øvelse 16.2.2
Antag at vi har en stikprøve fra en normalfordelt population bestående af observationerne: \(-5,0,1,7\).
a) Bestem et \(95\%\)-konfidensinterval for populationens middelværdi.
b) Forklar betydningen af det fundne interval.
Løsning 16.2.2
a) \([-7{,}1;8{,}6]\)
b) Vi kan med \(95\%\) sikkerhed sige at middelværdien for populationen ligger i intervallet \([-7{,}1;8{,}6]\).
Øvelse 16.2.3
Forestil dig, at du nu vil købe endnu en æbleplantage, men du vil gerne have en plantage med store æbler. Du køber derfor 10 æbler fra en udvalgt plantage som du vejer enkeltvis. Du får disse resultater. Vi antager at vægten af æbler er normalfordelt.
a) Bestem et estimat for middelværdien af vægten af æblerne i plantagen.
b) Bestem et \(95\%\)-konfidensinterval for middelværdien.
c) Du vil kun købe plantagen hvis du kan være sikker på at middelværdien af æblernes vægt er over 100. Vurder om du bør købe plantagen.
Løsning 16.2.3
a) \(104\)
b) \([92;116]\)
c) Konfidensintervallet indeholder værdier som er under \(100\). Det betyder at du ikke kan være sikker på at middelværdien for vægten er over \(100\).
Så du kan desværre ikke købe plantage.
Konfidensintervaller ved beregning
Ligesom ved binomialfordeling, kan vi også regne konfidensintervaller med en formel. Vi skal se på to forskellige formler. Den første formel kan bruges, når vi kender standardafvigelsen på forhånd og den sidste bruges når vi ikke
kender standardafvigelsen. Inden vi kan opskrive formelen er vi dog først nødt til at indføre nogle begreber.
Signifikansniveau
Signifikansniveauet \(\alpha \) er givet ved:
\[100\% - \textrm {konfidensniveau}\]
Eksempel 16.2.3 For et \(87\%\)-konfidensinterval finder vi signifikansniveauet:
\[\alpha =100\%-87\%=13\%.\]
Øvelse 16.2.4
Bestem signifikansniveauet for følgende typer af konfidensintervaller:
a) Et \(90\%\)-konfidensinterval.
b) Et \(99\%\)-konfidensinterval.
c) Et \(99{,}9\%\)-konfidensinterval.
Løsning 16.2.4
a) \(\alpha = 10\%\)
b) \(\alpha = 1\%\)
c) \(\alpha = 0{,}1\%\)
Fraktiler i standardnormalfordelingen
En \(p\)-fraktil for en stokastisk variabel \(X\) er et tal \(x_p\) sådan at
\[P(X\leq x_p)=p\]
Det er nemmest at forstå ved at se på et eksempel.
Eksempel 16.2.4 Vi vil bestemme \(0{,}95\)-fraktilen for standardnormalfordelingen \(Z\sim N(0;1)\). Vi åbner GeoGebra og laver en normalfordeling med \(\mu
=0\) og \(\sigma = 1\) (sådan står den vist allerede når man åbner den). Vi skriver nu de \(0{,}95\) ind:
Vi kan nu se at \(0{,}95\)-fraktilen er \(1{,}6449\). Vi betegner denne fraktil med \(z_{0{,}95}\). Vi bruger bogstavet \(z\) fordi det er standardnormalfordelingen. Vi konkluderer altså at
\[z_{0{,}95}=1{,}645\]
Øvelse 16.2.5
a) Bestem \(z_{0{,}975}\).
Løsning 16.2.5
a) \(z_{0{,}975}=1{,}96\)
Vi kommer til at støde på fraktiler på formen \(z_{1-\frac {\alpha }{2}}\), hvor \(\alpha \) er signifikansniveauet.
Eksempel 16.2.5 Vi vil bestemme fraktilen \(z_{1-\frac {\alpha }{2}}\) når \(\alpha =10\%\). Vi regner først \(1-\frac {\alpha }{2}\):
Tabel 16.1: Fraktiler i standardnormalfordelingen.
Øvelse 16.2.6
I eksempel 16.2.5 regnede vi sidste værdi for \(z_{1-\frac {\alpha }{2}}\) i tabellen – altså at \(z_{1-\frac {\alpha
}{2}}=1{,}645\) når \(\alpha =10\%\).
a) Regn efter at tabellen også har ret mht. de to første værdier for \(z_{1-\frac {\alpha }{2}}\) (når \(\alpha =5\%\) og \(\alpha =1\%\)).
Løsning 16.2.6
a) Der står ikke noget her:(
Vi er nu endelig klar til at præsentere den sætning, vi skal bruge til at regne konfidensintervallerne.
Sætning 16.2.1 Hvis standardafvigelsen er kendt, bestemmes et konfidensinterval \(I\) for middelværdien i en normalfordeling ved formlen:
\(\left (1-\frac {\alpha }{2}\right )\)-fraktilen i standardnormalfordelingen.
Vi regner et eksempel:
Eksempel 16.2.6 Vi vil bestemme et \(95\%\)-konfidensinterval for en stikprøve med kendt standardafvigelse. Stikprøven har en størrelse på \(200\), et gennemsnit på \(1000\) og en standardafvigelse på
\(30\). Vi har altså:
Vi taster hele pivetøjet ind på en lommeregner og får:
\[I=[996;1004]\]
Øvelse 16.2.7
Vi ser på en stikprøve fra en normalfordelt population. Vi har 500 observationer, et gennemsnit på 20 og en standardafvigelse på 5.
a) Bestem uden GeoGebra et \(90\%\)-konfidensinterval for middelværdien.
Løsning 16.2.7
a) \([19{,}6;20{,}4]\)
Øvelse 16.2.8
a) Regn med formel et \(80\%\) konfidensinterval for middelværdien i en normalfordeling, hvor stikprøvestørrelsen er \(150\), gennemsnittet er \(50\) og
standardafvigelsen er \(10\).
Løsning 16.2.8
a) \([49;51]\)
Normalfordeling med ukendt standardafvigelse
Vi kan bestemme et konfidensinterval for middelværdien i en normalfordeling med ukendt standardafvigelse på næsten samme måde:
Sætning 16.2.2 Hvis standardafvigelsen er ukendt, bestemmes et konfidensinterval \(I\) ved formlen:
\(\left (1-\frac {\alpha }{2}\right )\)-fraktilen i \(t\)-fordeling med \(n-1\) frihedsgrader (forklaring følger).
Vi kan se, at den ligner sætning 1 meget. Den eneste forskel er at der står \(t_{1-\frac {\alpha }{2}}\) i stedet for \(z_{1-\frac {\alpha }{2}}\). Det betyder at vi ikke længere skal finde fraktilerne i
standardnormalfordelingen i men i stedet skal vi have fat i en fordeling der hedder \(t\)-fordelingen — eller faktisk — vi skal have fat i en bestemt \(t\)-fordeling. Der findes nemlig uendelig mange \(t\)-fordelinger — en for hver
frihedsgrad. Vi skal ikke komme nærmere ind på hvad frihedsgrader er, men det er et begreb vi også vil støde på senere. Indtil videre er det nok at vide, at en frihedsgrad er et helt positivt tal (1,2,3,4...) og at der til
enhver frihedsgrad er knyttet en \(t\)-fordeling.
Vi finder \(t\)-fordelingen i GeoGebra. Frihedsgraderne betegnes ”df” (degrees of freedom). Her et eksempel med med 1 frihedsgrad:
Øvelse 16.2.9
Åben en \(t\)-fordeling med en frihedsgrad i GeoGebra (som i screenshottet oven over). Prøv at skift rundt mellem den fordeling og så standardnormalfordelingen.
a) Hvad ser anderledes ud i t-fordelingen forhold til standardnormalfordelingen?
b) Prøv at skrive 100 som frihedsgrader. Kommer den tættere på standardnormalfordelingen?
Løsning 16.2.9
a) Den er mere spids i toppen og den er langsommere om at flade ud
b) Det gør den. Den ligner fuldstændig standardnormalfordelingen.
Øvelse 16.2.10
Vi vil bestemme et \(90\%\)-konfidensinterval for middelværdien i en normalfordeling, hvor vi ikke kender standardafvigelsen. Stikprøvestørrelsen er \(50\), et estimat af standardafvigelsen er \(800\) og gennemsnittet er \(5000\).
a) Bestem \(t_{1-\frac {\alpha }{2}}\) i GeoGebra
b) Bestem konfidensintervallet ved at bruge resultatet fra a), men ellers uden at bruge computeren (selvfølgelig må I gerne bruge den som lommeregner).
Løsning 16.2.10
a) \(1{,}6766\)
b) \([4810;5190]\)
Øvelse 16.2.11
Vi har set at når vi har høje frihedsgrader ligner t-fordelingen standardnormalfordelingen. Brug dette til at argumentere for:
a) Hvis stikprøven er meget stor kan vi bruge formlen for kendt standardafvigelse selvom vi ikke kender standardafvigelsen.
b) At dette ikke er så overraskende.
Løsning 16.2.11
a) Den eneste forskel i formlerne er fraktilerne, og når stikprøvestørrelsen (og dermed antallet af frihedsgrader) er stor, så ligner \(t\)-fordelingen
standardnormalfordelingen og vi får derfor samme værdi for fraktilerne uanset om vi bruger t-fordeling eller standardnormalfordeling. Så de to formler giver samme resultat.
b) Det er ikke overraskende, da estimatet af standardafvigelsen vil komme tættere på populationens standardafvigelse, jo større stikprøven er.
Konfidensintervaller for middelværdien, når populationen ikke er normalfordelt
Måske har I lagt mærke til at vi har krævet at alle populationerne i eksemplerne var normalfordelte? Det er fordi at vi havde med små stikprøver at gøre, og metoden virker kun for små stikprøver, hvis populationen er
normalfordelt. Har vi en stor stikprøve (tommelfingerregel er en stikprøvestørrelse på minimum 30), så virker metoden også for andre typer af fordelinger. Typisk er stikprøvestørrelserne større end 30, så generelt vil vi ikke bekymre
os om, hvorvidt populationen er normalfordelt eller ej.
