MATHHX B
\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\)
\(\def \LWRfootnote {1}\)
\(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\let \LWRorighspace \hspace \)
\(\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }\)
\(\newcommand {\TextOrMath }[2]{#2}\)
\(\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}\)
\(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\)
\(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \)
\(\newcommand {\setlength }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtolength }[2]{}\)
\(\newcommand {\setcounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\arabic }[1]{}\)
\(\newcommand {\number }[1]{}\)
\(\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\newcommand {\cline }[1]{}\)
\(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\protect }{}\)
\(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\)
\(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\)
\(\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}\)
\(\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }\)
\(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\)
\(\def \mathcode #1={\mathchar }\)
\(\let \delcode \mathcode \)
\(\let \delimiter \mathchar \)
\(\def \oe {\unicode {x0153}}\)
\(\def \OE {\unicode {x0152}}\)
\(\def \ae {\unicode {x00E6}}\)
\(\def \AE {\unicode {x00C6}}\)
\(\def \aa {\unicode {x00E5}}\)
\(\def \AA {\unicode {x00C5}}\)
\(\def \o {\unicode {x00F8}}\)
\(\def \O {\unicode {x00D8}}\)
\(\def \l {\unicode {x0142}}\)
\(\def \L {\unicode {x0141}}\)
\(\def \ss {\unicode {x00DF}}\)
\(\def \SS {\unicode {x1E9E}}\)
\(\def \dag {\unicode {x2020}}\)
\(\def \ddag {\unicode {x2021}}\)
\(\def \P {\unicode {x00B6}}\)
\(\def \copyright {\unicode {x00A9}}\)
\(\def \pounds {\unicode {x00A3}}\)
\(\let \LWRref \ref \)
\(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\)
\( \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}\)
\(\require {textcomp}\)
\(\require {colortbl}\)
\(\let \LWRorigcolumncolor \columncolor \)
\(\renewcommand {\columncolor }[2][named]{\LWRorigcolumncolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\let \LWRorigrowcolor \rowcolor \)
\(\renewcommand {\rowcolor }[2][named]{\LWRorigrowcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\let \LWRorigcellcolor \cellcolor \)
\(\renewcommand {\cellcolor }[2][named]{\LWRorigcellcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\newcommand {\tothe }[1]{^{#1}}\)
\(\newcommand {\raiseto }[2]{{#2}^{#1}}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxEND }{}\)
\(\def \LWRsiunitxang #1;#2;#3;#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#1}{}{\num {#1}\degree }\ifblank {#2}{}{\num {#2}^{\unicode {x2032}}}\ifblank {#3}{}{\num {#3}^{\unicode {x2033}}}}\)
\(\newcommand {\ang }[2][]{\LWRsiunitxang #2;;;\LWRsiunitxEND }\)
\(\def \LWRsiunitxdistribunit {}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxENDTWO }{}\)
\(\def \LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,#2,#3\LWRsiunitxENDTWO {\ifblank {#1}{0}{\mathrm {#1}}\ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\mathrm {#2}}}\)
\(\def \LWRsiunitxprintdecimalsub #1.#2.#3\LWRsiunitxEND {\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,,\LWRsiunitxENDTWO \ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo
#2,,\LWRsiunitxENDTWO }}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxprintdecimal }[1]{\LWRsiunitxprintdecimalsub #1...\LWRsiunitxEND }\)
\(\def \LWRsiunitxnumplus #1+#2+#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}{\ifblank {#1}{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode
{x02B}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}}\LWRsiunitxdistribunit }\)
\(\def \LWRsiunitxnumminus #1-#2-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumplus #1+++\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#1}{}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}\unicode {x02212}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\def \LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm #2\pm #3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumminus #1---\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\def \LWRsiunitxnumpm #1+-#2+-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm \pm \pm \LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxnumscientific }[2]{\ifblank {#1}{}{\ifstrequal {#1}{-}{-}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\times }}10^{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}\LWRsiunitxdistribunit }\)
\(\def \LWRsiunitxnumD #1D#2D#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpm #1+-+-\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumd #1d#2d#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumD #1DDD\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumE #1E#2E#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumd #1ddd\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnume #1e#2e#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumE #1EEE\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumx #1x#2x#3x#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#3}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume
#2eee\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #3eee\LWRsiunitxEND }}}\)
\(\newcommand {\num }[2][]{\LWRsiunitxnumx #2xxxxx\LWRsiunitxEND }\)
\(\newcommand {\si }[2][]{\mathrm {\gsubstitute {#2}{~}{\,}}}\)
\(\def \LWRsiunitxSIopt #1[#2]#3{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#3}}{#2}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxSI }[2]{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#2}}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\)
\(\newcommand {\SI }[2][]{\ifnextchar [{\LWRsiunitxSIopt {#2}}{\LWRsiunitxSI {#2}}}\)
\(\newcommand {\numlist }[2][]{\text {#2}}\)
\(\newcommand {\numrange }[3][]{\num {#2}\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}}\)
\(\newcommand {\SIlist }[3][]{\text {#2}\,\si {#3}}\)
\(\newcommand {\SIrange }[4][]{\num {#2}\,#4\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}\,#4}\)
\(\newcommand {\tablenum }[2][]{\mathrm {#2}}\)
\(\newcommand {\ampere }{\mathrm {A}}\)
\(\newcommand {\candela }{\mathrm {cd}}\)
\(\newcommand {\kelvin }{\mathrm {K}}\)
\(\newcommand {\kilogram }{\mathrm {kg}}\)
\(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\mole }{\mathrm {mol}}\)
\(\newcommand {\second }{\mathrm {s}}\)
\(\newcommand {\becquerel }{\mathrm {Bq}}\)
\(\newcommand {\degreeCelsius }{\unicode {x2103}}\)
\(\newcommand {\coulomb }{\mathrm {C}}\)
\(\newcommand {\farad }{\mathrm {F}}\)
\(\newcommand {\gray }{\mathrm {Gy}}\)
\(\newcommand {\hertz }{\mathrm {Hz}}\)
\(\newcommand {\henry }{\mathrm {H}}\)
\(\newcommand {\joule }{\mathrm {J}}\)
\(\newcommand {\katal }{\mathrm {kat}}\)
\(\newcommand {\lumen }{\mathrm {lm}}\)
\(\newcommand {\lux }{\mathrm {lx}}\)
\(\newcommand {\newton }{\mathrm {N}}\)
\(\newcommand {\ohm }{\mathrm {\Omega }}\)
\(\newcommand {\pascal }{\mathrm {Pa}}\)
\(\newcommand {\radian }{\mathrm {rad}}\)
\(\newcommand {\siemens }{\mathrm {S}}\)
\(\newcommand {\sievert }{\mathrm {Sv}}\)
\(\newcommand {\steradian }{\mathrm {sr}}\)
\(\newcommand {\tesla }{\mathrm {T}}\)
\(\newcommand {\volt }{\mathrm {V}}\)
\(\newcommand {\watt }{\mathrm {W}}\)
\(\newcommand {\weber }{\mathrm {Wb}}\)
\(\newcommand {\day }{\mathrm {d}}\)
\(\newcommand {\degree }{\mathrm {^\circ }}\)
\(\newcommand {\hectare }{\mathrm {ha}}\)
\(\newcommand {\hour }{\mathrm {h}}\)
\(\newcommand {\litre }{\mathrm {l}}\)
\(\newcommand {\liter }{\mathrm {L}}\)
\(\newcommand {\arcminute }{^\prime }\)
\(\newcommand {\minute }{\mathrm {min}}\)
\(\newcommand {\arcsecond }{^{\prime \prime }}\)
\(\newcommand {\tonne }{\mathrm {t}}\)
\(\newcommand {\astronomicalunit }{au}\)
\(\newcommand {\atomicmassunit }{u}\)
\(\newcommand {\bohr }{\mathit {a}_0}\)
\(\newcommand {\clight }{\mathit {c}_0}\)
\(\newcommand {\dalton }{\mathrm {D}_\mathrm {a}}\)
\(\newcommand {\electronmass }{\mathit {m}_{\mathrm {e}}}\)
\(\newcommand {\electronvolt }{\mathrm {eV}}\)
\(\newcommand {\elementarycharge }{\mathit {e}}\)
\(\newcommand {\hartree }{\mathit {E}_{\mathrm {h}}}\)
\(\newcommand {\planckbar }{\mathit {\unicode {x210F}}}\)
\(\newcommand {\angstrom }{\mathrm {\unicode {x212B}}}\)
\(\let \LWRorigbar \bar \)
\(\newcommand {\barn }{\mathrm {b}}\)
\(\newcommand {\bel }{\mathrm {B}}\)
\(\newcommand {\decibel }{\mathrm {dB}}\)
\(\newcommand {\knot }{\mathrm {kn}}\)
\(\newcommand {\mmHg }{\mathrm {mmHg}}\)
\(\newcommand {\nauticalmile }{\mathrm {M}}\)
\(\newcommand {\neper }{\mathrm {Np}}\)
\(\newcommand {\yocto }{\mathrm {y}}\)
\(\newcommand {\zepto }{\mathrm {z}}\)
\(\newcommand {\atto }{\mathrm {a}}\)
\(\newcommand {\femto }{\mathrm {f}}\)
\(\newcommand {\pico }{\mathrm {p}}\)
\(\newcommand {\nano }{\mathrm {n}}\)
\(\newcommand {\micro }{\mathrm {\unicode {x00B5}}}\)
\(\newcommand {\milli }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\centi }{\mathrm {c}}\)
\(\newcommand {\deci }{\mathrm {d}}\)
\(\newcommand {\deca }{\mathrm {da}}\)
\(\newcommand {\hecto }{\mathrm {h}}\)
\(\newcommand {\kilo }{\mathrm {k}}\)
\(\newcommand {\mega }{\mathrm {M}}\)
\(\newcommand {\giga }{\mathrm {G}}\)
\(\newcommand {\tera }{\mathrm {T}}\)
\(\newcommand {\peta }{\mathrm {P}}\)
\(\newcommand {\exa }{\mathrm {E}}\)
\(\newcommand {\zetta }{\mathrm {Z}}\)
\(\newcommand {\yotta }{\mathrm {Y}}\)
\(\newcommand {\percent }{\mathrm {\%}}\)
\(\newcommand {\meter }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\gram }{\mathrm {g}}\)
\(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\)
\(\newcommand {\of }[1]{_{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\squared }{^2}\)
\(\newcommand {\square }[1]{\mathrm {#1}^2}\)
\(\newcommand {\cubed }{^3}\)
\(\newcommand {\cubic }[1]{\mathrm {#1}^3}\)
\(\newcommand {\per }{\,\mathrm {/}}\)
\(\newcommand {\celsius }{\unicode {x2103}}\)
\(\newcommand {\fg }{\femto \gram }\)
\(\newcommand {\pg }{\pico \gram }\)
\(\newcommand {\ng }{\nano \gram }\)
\(\newcommand {\ug }{\micro \gram }\)
\(\newcommand {\mg }{\milli \gram }\)
\(\newcommand {\g }{\gram }\)
\(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\)
\(\newcommand {\amu }{\mathrm {u}}\)
\(\newcommand {\nm }{\nano \metre }\)
\(\newcommand {\um }{\micro \metre }\)
\(\newcommand {\mm }{\milli \metre }\)
\(\newcommand {\cm }{\centi \metre }\)
\(\newcommand {\dm }{\deci \metre }\)
\(\newcommand {\m }{\metre }\)
\(\newcommand {\km }{\kilo \metre }\)
\(\newcommand {\as }{\atto \second }\)
\(\newcommand {\fs }{\femto \second }\)
\(\newcommand {\ps }{\pico \second }\)
\(\newcommand {\ns }{\nano \second }\)
\(\newcommand {\us }{\micro \second }\)
\(\newcommand {\ms }{\milli \second }\)
\(\newcommand {\s }{\second }\)
\(\newcommand {\fmol }{\femto \mol }\)
\(\newcommand {\pmol }{\pico \mol }\)
\(\newcommand {\nmol }{\nano \mol }\)
\(\newcommand {\umol }{\micro \mol }\)
\(\newcommand {\mmol }{\milli \mol }\)
\(\newcommand {\mol }{\mol }\)
\(\newcommand {\kmol }{\kilo \mol }\)
\(\newcommand {\pA }{\pico \ampere }\)
\(\newcommand {\nA }{\nano \ampere }\)
\(\newcommand {\uA }{\micro \ampere }\)
\(\newcommand {\mA }{\milli \ampere }\)
\(\newcommand {\A }{\ampere }\)
\(\newcommand {\kA }{\kilo \ampere }\)
\(\newcommand {\ul }{\micro \litre }\)
\(\newcommand {\ml }{\milli \litre }\)
\(\newcommand {\l }{\litre }\)
\(\newcommand {\hl }{\hecto \litre }\)
\(\newcommand {\uL }{\micro \liter }\)
\(\newcommand {\mL }{\milli \liter }\)
\(\newcommand {\L }{\liter }\)
\(\newcommand {\hL }{\hecto \liter }\)
\(\newcommand {\mHz }{\milli \hertz }\)
\(\newcommand {\Hz }{\hertz }\)
\(\newcommand {\kHz }{\kilo \hertz }\)
\(\newcommand {\MHz }{\mega \hertz }\)
\(\newcommand {\GHz }{\giga \hertz }\)
\(\newcommand {\THz }{\tera \hertz }\)
\(\newcommand {\mN }{\milli \newton }\)
\(\newcommand {\N }{\newton }\)
\(\newcommand {\kN }{\kilo \newton }\)
\(\newcommand {\MN }{\mega \newton }\)
\(\newcommand {\Pa }{\pascal }\)
\(\newcommand {\kPa }{\kilo \pascal }\)
\(\newcommand {\MPa }{\mega \pascal }\)
\(\newcommand {\GPa }{\giga \pascal }\)
\(\newcommand {\mohm }{\milli \ohm }\)
\(\newcommand {\kohm }{\kilo \ohm }\)
\(\newcommand {\Mohm }{\mega \ohm }\)
\(\newcommand {\pV }{\pico \volt }\)
\(\newcommand {\nV }{\nano \volt }\)
\(\newcommand {\uV }{\micro \volt }\)
\(\newcommand {\mV }{\milli \volt }\)
\(\newcommand {\V }{\volt }\)
\(\newcommand {\kV }{\kilo \volt }\)
\(\newcommand {\W }{\watt }\)
\(\newcommand {\uW }{\micro \watt }\)
\(\newcommand {\mW }{\milli \watt }\)
\(\newcommand {\kW }{\kilo \watt }\)
\(\newcommand {\MW }{\mega \watt }\)
\(\newcommand {\GW }{\giga \watt }\)
\(\newcommand {\J }{\joule }\)
\(\newcommand {\uJ }{\micro \joule }\)
\(\newcommand {\mJ }{\milli \joule }\)
\(\newcommand {\kJ }{\kilo \joule }\)
\(\newcommand {\eV }{\electronvolt }\)
\(\newcommand {\meV }{\milli \electronvolt }\)
\(\newcommand {\keV }{\kilo \electronvolt }\)
\(\newcommand {\MeV }{\mega \electronvolt }\)
\(\newcommand {\GeV }{\giga \electronvolt }\)
\(\newcommand {\TeV }{\tera \electronvolt }\)
\(\newcommand {\kWh }{\kilo \watt \hour }\)
\(\newcommand {\F }{\farad }\)
\(\newcommand {\fF }{\femto \farad }\)
\(\newcommand {\pF }{\pico \farad }\)
\(\newcommand {\K }{\mathrm {K}}\)
\(\newcommand {\dB }{\mathrm {dB}}\)
\(\newcommand {\kibi }{\mathrm {Ki}}\)
\(\newcommand {\mebi }{\mathrm {Mi}}\)
\(\newcommand {\gibi }{\mathrm {Gi}}\)
\(\newcommand {\tebi }{\mathrm {Ti}}\)
\(\newcommand {\pebi }{\mathrm {Pi}}\)
\(\newcommand {\exbi }{\mathrm {Ei}}\)
\(\newcommand {\zebi }{\mathrm {Zi}}\)
\(\newcommand {\yobi }{\mathrm {Yi}}\)
\(\let \unit \si \)
\(\let \qty \SI \)
\(\let \qtylist \SIlist \)
\(\let \qtyrange \SIrange \)
\(\let \numproduct \num \)
\(\let \qtyproduct \SI \)
\(\let \complexnum \num \)
\(\newcommand {\complexqty }[3][]{(\complexnum {#2})\si {#3}}\)
\(\newcommand {\mleft }{\left }\)
\(\newcommand {\mright }{\right }\)
\(\newcommand {\mleftright }{}\)
\(\newcommand {\mleftrightrestore }{}\)
\(\require {gensymb}\)
\(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\let \Hat \hat \)
\(\let \Check \check \)
\(\let \Tilde \tilde \)
\(\let \Acute \acute \)
\(\let \Grave \grave \)
\(\let \Dot \dot \)
\(\let \Ddot \ddot \)
\(\let \Breve \breve \)
\(\let \Bar \bar \)
\(\let \Vec \vec \)
\(\require {cancel}\)
\(\newcommand {\Dom }{\operatorname {Dom}}\)
\(\newcommand {\Ran }{\operatorname {Ran}}\)
\(\newcommand {\Dm }{\operatorname {Dm}}\)
\(\newcommand {\Vm }{\operatorname {Vm}}\)
\(\newcommand {\Var }{\operatorname {Var}}\)
\(\newcommand {\SD }{\operatorname {SD}}\)
\(\newcommand {\ExV }{\operatorname {E}}\)
\(\newcommand {\opointtext }{\textcolor {blue}{\circ }}\)
\(\newcommand {\cpointtext }{\textcolor {blue}{\bullet }}\)
\(\newcommand {\vectwo }[2]{\begin {pmatrix} #1 \\ #2 \end {pmatrix}}\)
\(\newcommand {\tcbset }[1]{}\)
\(\newcommand {\tcbsetforeverylayer }[1]{}\)
\(\newcommand {\tcbox }[2][]{\boxed {\text {#2}}}\)
\(\newcommand {\tcboxfit }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\tcblower }{}\)
\(\newcommand {\tcbline }{}\)
\(\newcommand {\tcbtitle }{}\)
\(\newcommand {\tcbsubtitle [2][]{\mathrm {#2}}}\)
\(\newcommand {\tcboxmath }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\tcbhighmath }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }\)
\(\let \midrule \toprule \)
\(\let \bottomrule \toprule \)
\(\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}\)
\(\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}\)
\(\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }\)
\(\newcommand {\morecmidrules }{}\)
\(\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }\)
\(\newcommand {\addlinespace }[1][]{}\)
\(\def \LWRsiunitxrangephrase {\TextOrMath { }{\ }\protect \mbox {to (numerical range)}\TextOrMath { }{\ }}\)
\(\def \LWRsiunitxdecimal {.}\)
12.5 Stokastiske variable
Dette kapitel er for elever på 2024-ordningen. Dvs. elever startet i 2024 eller senere. Er du på den gamle ordning skal du i stedet læse dette kapitel.
Vi har før set på terningkast som stokastiske eksperimenter. Sandsynlighedstabellen for et terningkast ser således ud:
| . |
|---|
| \(u\) |
\({\Large ⚀} \) |
\({\Large ⚁} \) |
\({\Large ⚂} \) |
\({\Large ⚃} \) |
\({\Large ⚄} \) |
\({\Large ⚅} \) |
| \(P(u)\) |
\(\frac {1}{6}\) |
\(\frac {1}{6}\) |
\(\frac {1}{6}\) |
\(\frac {1}{6}\) |
\(\frac {1}{6}\) |
\(\frac {1}{6}\) |
|
|
|
|
|
|
|
Hvis vi betegner antallet af øjne med \(X\), så får vi en variabel, som afhænger af udfaldet af terningkastet. En sådan variabel kaldes en stokastisk variabel. Variablen \(X\) kan antage værdierne \(1,2,3,4,5,6\) med en
sandsynlighed på \(\frac {1}{6}\) for hver værdi. Vi har en særlig måde at betegne sandsynligheder for en stokastisk variable. Sandsynligheden for at den stokastiske variabel giver f.eks. \(2\) betegnes med \(P(X=2)\). Vi har
altså, at \(P(X=2)=\frac {1}{6}\). Vi kan nu opskrive sandsynlighedstabel for \(X\):
\(\begin {array}{ | c | c | c | c | c |c | c |} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline P(X=x) & \frac {1}{6} & \frac {1}{6} & \frac {1}{6} & \frac
{1}{6} & \frac {1}{6} & \frac {1}{6}\\ \hline \end {array}\)
En sandsynlighedstabel for en stokastisk variabel kaldes også en sandsynlighedsfordeling. Vi skal senere se på sandsynlighedsfordelinger, som ikke kan beskrives med en tabel, men dem vil vi
ikke bekymre os om nu.
Øvelse 12.5.1
Vi kaster en almindelig terning og lader \(X\) være antallet af øjne.
Det kunne godt se ud som om der ikke rigtig er nogen forskel på et sandsynlighedsfelt og en stokastisk variabel. Sandsynlighedstabellen for den stokastiske variabel der betegner antallet af øjne ved et terningkast ser ud til at være
den samme som sandsynlighedstabellen for udfaldsrummet ved terningkastet – bare skrevet lidt anderledes. Men der ér to afgørende forskelle.
-
1. Stokastiske variable har altid talværdier, mens udfald kan være hvad som helst. Kaster vi en mønt er udfaldene ”plat” og ”krone” og da de to udfald
ikke er tal, kan de ikke være værdier for en stokastisk variabel.
-
2. Et stokastisk eksperiment har altid et fast udfaldsrum, mens der er mange måder at knytte en stokastisk variabel til et udfaldsrum(se nedenstående
eksempel).
Øvelse 12.5.2
Antag vi kaster en mønt. Lad \(X\) være den stokastiske variabel er \(0\) når udfaldet er ”plat” og \(1\) når udfaldet er ”krone”.
Nogle vil vi kigge på stokastiske variable alene ud fra deres sandsynlighedsfordeling uden at have et bagvedliggende eksperiment.
-
Eksempel 12.5.2
Betragt den stokastiske variable givet ved følgende sandsynlighedsfordeling:
\(\begin {array}{ | c | c | c | c | c |} \hline x & 3 & 9 & 30 \\ \hline P(X=x) & \frac {1}{3} & \frac {1}{3} & \frac {1}{3} \\ \hline \end {array}\)
Hvilken praktisk situation beskriver tabellen? Det er ikke til at vide, men det er også ligemeget. Vi behøver kun at kende sandsynlighedstabellen, så kan vi arbejde med \(X\).
Sandsynlighederne for en stokastisk variabel skal selvfølgelig give \(1\), når man lægger dem sammen.
Øvelse 12.5.3
Betragt sandsynlighedsfordeling:
\(\begin {array}{ | c | c | c | c | c |} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline P(X=x) & \frac {1}{4} & \frac {1}{2} & \text {?} & \frac {1}{8} \\ \hline \end
{array}\)
Middelværdi, varians og standardafvigelse for stokastiske variable
Under beskrivende statistik mødte vi gennemsnit, varians og standardafvigelse. Disse begreber optræder også i sandsynlighedsregning, bortset fra, at vi her erstatter gennemsnittet med noget der hedder middelværdi.
Øvelse 12.5.4
Alle ved hvad et gennemsnittet \(\overline {x}\) er. Men kan du huske hvad varians og standardafvigelse var for noget?
-
a) Hvad er betydningen af varians (\(\sigma ^2\)) i statistik?
-
b) Hvad var formlen for varians i statistik?
-
c) Hvad er betydningen af standardafvigelse (\(\sigma \))i statistik?
-
d) Hvad er formlen for standardafvigelse i statistik?
Løsning 12.5.4
-
a) Varians er et tal som fortæller noget om hvor stor spredning der er i observationerne. Den er stor når der er stor spredning i observationerne. For os, på
vores niveau, er variansen en mellemregning til at finde standardafvigelsen.
-
b) \(\sigma ^2=(x_1-\overline {x})^2\cdot f_1+(x_2-\overline {x})^2\cdot f_2+\cdots +(x_k-\overline {x})^2\cdot f_k\)
-
c) Standardafvigelsen repræsentere afvigelserne mellem de enkelte observationer og gennemsnittet. Mere konkret, tænker vi på standardafvigelsen som
observationernes gennemsnitlige afvigelse til gennemsnittet. Det er ganske vist ikke helt korrekt, men det er det tætteste vi kan komme på det her niveau. Ahh jeg længes tilbage mod universitet, hvor alting blev gjort grundigt og
præcist. Det var tider...
-
d) \(\sigma =\sqrt {\sigma ^2}\)
-
Definition 12.5.1
Lad \(X\) være en stokastisk variabel med sandsynlighedsfordelingen:
\(\begin {array}{ | c | c | c | c | c |} \hline x & x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ \hline P(X=x) & p_1 & p_2 & \cdots &p_n \\ \hline \end {array}\)
Vi definerer middelværdien \(\ExV (X)\) ved
\[\ExV (X) = x_1\cdot p_1 + x_2\cdot p_2 +\cdots + x_n\cdot p_n\]
Vi definerer variansen \(\Var (X)\) ud fra middelværdien:
\[\Var (X)=\big (x_1-\ExV (X)\big )^2\cdot p_1 +\big (x_2-\ExV (X)\big )^2\cdot p_2 + \cdots \big (x_n-\ExV (X)\big )^2\cdot p_n\]
Vi definerer standardafvigelsen (kaldes også spredningen) \(\SD (X)\) ud fra variansen:
\[\SD (X)=\sqrt {\Var (X)}\]
Kan du se, at formlerne minder om dem, du mødte i beskrivende statistik? Hvis du tager formlerne fra statistik, bytter p’erne ud med f’er, sætter \(\ExV (x)=\overline {x}\), \(\Var (x)=\sigma \) og \(\SD (X)=\sigma ^2\),
får du nøjagtig de samme formler, du mødte i statistikafsnittet. Betydningen af begreberne svarer også til den betydning de har i statistik. De nærmere det detaljer vil blive forklaret, efter vi har regnet et eksempel og et par øvelser.
-
Eksempel 12.5.3
Vi vil regne middelværdi, varians og standardafvigelse for
den stokastiske variabel givet ved følgende sandsynlighedsfordeling:
\(\begin {array}{ | c | c | c | c | c |} \hline x & 3 & 4 & 12\\ \hline P(X=x) & \frac {1}{3} & \frac {1}{2} & \frac {1}{6} \\ \hline \end {array}\)
Vi regner først middelværdien:
\(\seteqnumber{0}{12.}{1}\)
\begin{equation*}
\begin{split} \ExV (X) & = x_1\cdot p_1 + x_2\cdot p_2 +\cdots + x_n\cdot p_n\\ & = 3 \cdot \frac {1}{3} + 4 \cdot \frac {1}{2} + 12\cdot \frac {1}{6}\\ & = 1+2+2\\ & = 5 \end
{split}
\end{equation*}
Så \(\ExV (X)=5\), dvs. middelværdien er \(5\).
Vi regner så variansen. Her skal vi bruge middelværdien vi lige har regnet.
\(\seteqnumber{0}{12.}{1}\)
\begin{equation*}
\begin{split} \Var (X) & =\big (x_1-\ExV (X)\big )^2\cdot p_1 +\big (x_2-\ExV (X)\big )^2\cdot p_2 + \cdots \big (x_n-\ExV (X)\big )^2\cdot p_n\\ & = (3-5)^2\cdot \frac
{1}{3}+(4-5)^2\cdot \frac {1}{2}+(12-5)^2\cdot \frac {1}{6}\\ & = \frac {4}{3} + \frac {1}{2} + \frac {49}{6}\\ & = \frac {8}{6}+\frac {3}{6}+\frac {49}{6}\\ & = \frac {60}{6}\\
& = 10 \end {split}
\end{equation*}
Så \(\Var (X)=10\), dvs. variansen er \(10\).
Vi regner nu standardafvigelsen Her skal vi bruge variansen, vi lige har regnet.
\(\seteqnumber{0}{12.}{1}\)
\begin{equation*}
\begin{split} \SD (X) & =\sqrt {\Var (X)}\\ & =\sqrt {10}\\ & = 3{,}16 \end {split}
\end{equation*}
Så \(\SD (x)=3{,}16\), dvs. standardafvigelsen er \(3{,}16\).
Øvelse 12.5.5
Betragt den stokastiske variabel \(X\) givet ved følgende sandsynlighedsfordeling:
\(\begin {array}{ | c | c | c |} \hline x & 6 & 9\\ \hline P(X=x) & \frac {1}{3} & \frac {2}{3} \\ \hline \end {array}\)
Løsning 12.5.5
-
a) \(\ExV (X)=8\)
-
b) \(\Var (X)=2\)
-
c) \(\SD (X) = 1{,}41\)
Øvelse 12.5.6
I denne øvelse skal du regne på en terning. Der bliver en del regneri, så jeg anbefaler at du bruger Exel. Ellers bare spring opgaven over, hvis du ikke kan finde ud af det. Vi får brug for facit senere, så tjek dem ud uanset hvad.
Løsning 12.5.6
-
a) \(\ExV (X)=3{,}5\)
-
b) \(\Var (X)= 2{,}92\)
-
c) \(\SD (X) = 1{,}71\)
I øvelsen ovenover fik vi følgende værdier for et terningkastet:
\[\ExV (X)=3{,}5\qquad \Var (X)= 2{,}92\qquad \SD (X) = 1{,}71\]
Jeg har simuleret 1000 terningkast i Excel og regnet gennemsnit (\(\overline {x}\)), varians (\(\sigma ^2\)) og standardafvigelse (\(\sigma \)) med metoderne fra afsnittet om beskrivende statistik. Det gave
\[\overline {x}=3{,}54\qquad \sigma ^2 = 2{,}94\qquad \sigma = 1{,}72 \]
Vi kan se at det er næsten de samme tal. Kaster vi terningen 1 mio. gange vil vi få noget som er endnu tætter på. Så man kan tænke på middelværdi, varians og standardafvigelse som det man ville få, hvis man man udførte sit
stokastiske eksperiment mange gange og regnede gennemsnit, varians og standardafvigelse på udfaldene.
Kontinuerte stokastiske variable
Den type stokastiske variable, vi har kigger på i dette afsnit, hører til kategorien diskrete stokastiske variable. Det betyder, at den stokastiske variabels værdier er adskilte. Der dog mange situationer som bedre beskrives
med en stokastisk variable, som kan antage alle værdier inden for et interval. En sådan stokastisk variabel kaldes en kontinuert stokastisk variabel. Det kunne f.eks. være, vi gerne ville beskrive vægten af en pose med 1 kg
sukker købt i Netto. Maskinen der fylder sukker på poserne kan jo ikke ramme præcis 1 kg, hver gang, og den præcise vægt vil derfor være forskellig fra gang til gang. Den stokastiske variabel, der beskriver posernes vægt er
kontinuert fordi dens mulige værdier udgør et interval. Man kunne f.eks. forstille sig, at alle værdier indenfor intervallet \([0{,}95;1{,}05]\) var mulige.
Dem som skal have Mat-A kommer til at møde kontinuerte stokastiske variable i afsnittet om normalfordeling.
Ekstra
Middelværdi, varians og standardafvigelse kan defineres pænere ved hjælp af summationstegn:
-
Definition 12.5.2
Lad \(X\) være en stokastisk variabel med sandsynlighedsfordelingen:
\(\begin {array}{ | c | c | c | c | c |} \hline x & x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ \hline P(X=x) & p_1 & p_2 & \cdots &p_n \\ \hline \end {array}\)
Vi definerer middelværdien \(\ExV (X)=\) ved
\[\ExV (X)=\sum _{i=1}^{n} x_i\cdot p_i,\]
variansen \(\Var (X)\) ved
\[\Var (X)=\sum _{i=1}^{n} \big (x_i-E(X)\big )^2\cdot p_i,\]
og standardafvigelsen \(\SD (X)\) ved
\[\SD (X)=\sqrt {\Var (X)}\]
Jeg anbefaler at man bruger summationstegn hvis man forstår notationen.