MATHHX B
\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\)
\(\def \LWRfootnote {1}\)
\(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\let \LWRorighspace \hspace \)
\(\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }\)
\(\newcommand {\TextOrMath }[2]{#2}\)
\(\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}\)
\(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\)
\(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \)
\(\newcommand {\setlength }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtolength }[2]{}\)
\(\newcommand {\setcounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\arabic }[1]{}\)
\(\newcommand {\number }[1]{}\)
\(\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\newcommand {\cline }[1]{}\)
\(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\protect }{}\)
\(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\)
\(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\)
\(\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}\)
\(\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }\)
\(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\)
\(\def \mathcode #1={\mathchar }\)
\(\let \delcode \mathcode \)
\(\let \delimiter \mathchar \)
\(\def \oe {\unicode {x0153}}\)
\(\def \OE {\unicode {x0152}}\)
\(\def \ae {\unicode {x00E6}}\)
\(\def \AE {\unicode {x00C6}}\)
\(\def \aa {\unicode {x00E5}}\)
\(\def \AA {\unicode {x00C5}}\)
\(\def \o {\unicode {x00F8}}\)
\(\def \O {\unicode {x00D8}}\)
\(\def \l {\unicode {x0142}}\)
\(\def \L {\unicode {x0141}}\)
\(\def \ss {\unicode {x00DF}}\)
\(\def \SS {\unicode {x1E9E}}\)
\(\def \dag {\unicode {x2020}}\)
\(\def \ddag {\unicode {x2021}}\)
\(\def \P {\unicode {x00B6}}\)
\(\def \copyright {\unicode {x00A9}}\)
\(\def \pounds {\unicode {x00A3}}\)
\(\let \LWRref \ref \)
\(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\)
\( \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}\)
\(\require {textcomp}\)
\(\require {colortbl}\)
\(\let \LWRorigcolumncolor \columncolor \)
\(\renewcommand {\columncolor }[2][named]{\LWRorigcolumncolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\let \LWRorigrowcolor \rowcolor \)
\(\renewcommand {\rowcolor }[2][named]{\LWRorigrowcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\let \LWRorigcellcolor \cellcolor \)
\(\renewcommand {\cellcolor }[2][named]{\LWRorigcellcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\newcommand {\tothe }[1]{^{#1}}\)
\(\newcommand {\raiseto }[2]{{#2}^{#1}}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxEND }{}\)
\(\def \LWRsiunitxang #1;#2;#3;#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#1}{}{\num {#1}\degree }\ifblank {#2}{}{\num {#2}^{\unicode {x2032}}}\ifblank {#3}{}{\num {#3}^{\unicode {x2033}}}}\)
\(\newcommand {\ang }[2][]{\LWRsiunitxang #2;;;\LWRsiunitxEND }\)
\(\def \LWRsiunitxdistribunit {}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxENDTWO }{}\)
\(\def \LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,#2,#3\LWRsiunitxENDTWO {\ifblank {#1}{0}{\mathrm {#1}}\ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\mathrm {#2}}}\)
\(\def \LWRsiunitxprintdecimalsub #1.#2.#3\LWRsiunitxEND {\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,,\LWRsiunitxENDTWO \ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo
#2,,\LWRsiunitxENDTWO }}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxprintdecimal }[1]{\LWRsiunitxprintdecimalsub #1...\LWRsiunitxEND }\)
\(\def \LWRsiunitxnumplus #1+#2+#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}{\ifblank {#1}{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode
{x02B}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}}\LWRsiunitxdistribunit }\)
\(\def \LWRsiunitxnumminus #1-#2-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumplus #1+++\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#1}{}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}\unicode {x02212}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\def \LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm #2\pm #3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumminus #1---\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\def \LWRsiunitxnumpm #1+-#2+-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm \pm \pm \LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxnumscientific }[2]{\ifblank {#1}{}{\ifstrequal {#1}{-}{-}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\times }}10^{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}\LWRsiunitxdistribunit }\)
\(\def \LWRsiunitxnumD #1D#2D#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpm #1+-+-\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumd #1d#2d#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumD #1DDD\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumE #1E#2E#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumd #1ddd\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnume #1e#2e#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumE #1EEE\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumx #1x#2x#3x#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#3}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume
#2eee\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #3eee\LWRsiunitxEND }}}\)
\(\newcommand {\num }[2][]{\LWRsiunitxnumx #2xxxxx\LWRsiunitxEND }\)
\(\newcommand {\si }[2][]{\mathrm {\gsubstitute {#2}{~}{\,}}}\)
\(\def \LWRsiunitxSIopt #1[#2]#3{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#3}}{#2}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxSI }[2]{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#2}}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\)
\(\newcommand {\SI }[2][]{\ifnextchar [{\LWRsiunitxSIopt {#2}}{\LWRsiunitxSI {#2}}}\)
\(\newcommand {\numlist }[2][]{\text {#2}}\)
\(\newcommand {\numrange }[3][]{\num {#2}\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}}\)
\(\newcommand {\SIlist }[3][]{\text {#2}\,\si {#3}}\)
\(\newcommand {\SIrange }[4][]{\num {#2}\,#4\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}\,#4}\)
\(\newcommand {\tablenum }[2][]{\mathrm {#2}}\)
\(\newcommand {\ampere }{\mathrm {A}}\)
\(\newcommand {\candela }{\mathrm {cd}}\)
\(\newcommand {\kelvin }{\mathrm {K}}\)
\(\newcommand {\kilogram }{\mathrm {kg}}\)
\(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\mole }{\mathrm {mol}}\)
\(\newcommand {\second }{\mathrm {s}}\)
\(\newcommand {\becquerel }{\mathrm {Bq}}\)
\(\newcommand {\degreeCelsius }{\unicode {x2103}}\)
\(\newcommand {\coulomb }{\mathrm {C}}\)
\(\newcommand {\farad }{\mathrm {F}}\)
\(\newcommand {\gray }{\mathrm {Gy}}\)
\(\newcommand {\hertz }{\mathrm {Hz}}\)
\(\newcommand {\henry }{\mathrm {H}}\)
\(\newcommand {\joule }{\mathrm {J}}\)
\(\newcommand {\katal }{\mathrm {kat}}\)
\(\newcommand {\lumen }{\mathrm {lm}}\)
\(\newcommand {\lux }{\mathrm {lx}}\)
\(\newcommand {\newton }{\mathrm {N}}\)
\(\newcommand {\ohm }{\mathrm {\Omega }}\)
\(\newcommand {\pascal }{\mathrm {Pa}}\)
\(\newcommand {\radian }{\mathrm {rad}}\)
\(\newcommand {\siemens }{\mathrm {S}}\)
\(\newcommand {\sievert }{\mathrm {Sv}}\)
\(\newcommand {\steradian }{\mathrm {sr}}\)
\(\newcommand {\tesla }{\mathrm {T}}\)
\(\newcommand {\volt }{\mathrm {V}}\)
\(\newcommand {\watt }{\mathrm {W}}\)
\(\newcommand {\weber }{\mathrm {Wb}}\)
\(\newcommand {\day }{\mathrm {d}}\)
\(\newcommand {\degree }{\mathrm {^\circ }}\)
\(\newcommand {\hectare }{\mathrm {ha}}\)
\(\newcommand {\hour }{\mathrm {h}}\)
\(\newcommand {\litre }{\mathrm {l}}\)
\(\newcommand {\liter }{\mathrm {L}}\)
\(\newcommand {\arcminute }{^\prime }\)
\(\newcommand {\minute }{\mathrm {min}}\)
\(\newcommand {\arcsecond }{^{\prime \prime }}\)
\(\newcommand {\tonne }{\mathrm {t}}\)
\(\newcommand {\astronomicalunit }{au}\)
\(\newcommand {\atomicmassunit }{u}\)
\(\newcommand {\bohr }{\mathit {a}_0}\)
\(\newcommand {\clight }{\mathit {c}_0}\)
\(\newcommand {\dalton }{\mathrm {D}_\mathrm {a}}\)
\(\newcommand {\electronmass }{\mathit {m}_{\mathrm {e}}}\)
\(\newcommand {\electronvolt }{\mathrm {eV}}\)
\(\newcommand {\elementarycharge }{\mathit {e}}\)
\(\newcommand {\hartree }{\mathit {E}_{\mathrm {h}}}\)
\(\newcommand {\planckbar }{\mathit {\unicode {x210F}}}\)
\(\newcommand {\angstrom }{\mathrm {\unicode {x212B}}}\)
\(\let \LWRorigbar \bar \)
\(\newcommand {\barn }{\mathrm {b}}\)
\(\newcommand {\bel }{\mathrm {B}}\)
\(\newcommand {\decibel }{\mathrm {dB}}\)
\(\newcommand {\knot }{\mathrm {kn}}\)
\(\newcommand {\mmHg }{\mathrm {mmHg}}\)
\(\newcommand {\nauticalmile }{\mathrm {M}}\)
\(\newcommand {\neper }{\mathrm {Np}}\)
\(\newcommand {\yocto }{\mathrm {y}}\)
\(\newcommand {\zepto }{\mathrm {z}}\)
\(\newcommand {\atto }{\mathrm {a}}\)
\(\newcommand {\femto }{\mathrm {f}}\)
\(\newcommand {\pico }{\mathrm {p}}\)
\(\newcommand {\nano }{\mathrm {n}}\)
\(\newcommand {\micro }{\mathrm {\unicode {x00B5}}}\)
\(\newcommand {\milli }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\centi }{\mathrm {c}}\)
\(\newcommand {\deci }{\mathrm {d}}\)
\(\newcommand {\deca }{\mathrm {da}}\)
\(\newcommand {\hecto }{\mathrm {h}}\)
\(\newcommand {\kilo }{\mathrm {k}}\)
\(\newcommand {\mega }{\mathrm {M}}\)
\(\newcommand {\giga }{\mathrm {G}}\)
\(\newcommand {\tera }{\mathrm {T}}\)
\(\newcommand {\peta }{\mathrm {P}}\)
\(\newcommand {\exa }{\mathrm {E}}\)
\(\newcommand {\zetta }{\mathrm {Z}}\)
\(\newcommand {\yotta }{\mathrm {Y}}\)
\(\newcommand {\percent }{\mathrm {\%}}\)
\(\newcommand {\meter }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\gram }{\mathrm {g}}\)
\(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\)
\(\newcommand {\of }[1]{_{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\squared }{^2}\)
\(\newcommand {\square }[1]{\mathrm {#1}^2}\)
\(\newcommand {\cubed }{^3}\)
\(\newcommand {\cubic }[1]{\mathrm {#1}^3}\)
\(\newcommand {\per }{\,\mathrm {/}}\)
\(\newcommand {\celsius }{\unicode {x2103}}\)
\(\newcommand {\fg }{\femto \gram }\)
\(\newcommand {\pg }{\pico \gram }\)
\(\newcommand {\ng }{\nano \gram }\)
\(\newcommand {\ug }{\micro \gram }\)
\(\newcommand {\mg }{\milli \gram }\)
\(\newcommand {\g }{\gram }\)
\(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\)
\(\newcommand {\amu }{\mathrm {u}}\)
\(\newcommand {\nm }{\nano \metre }\)
\(\newcommand {\um }{\micro \metre }\)
\(\newcommand {\mm }{\milli \metre }\)
\(\newcommand {\cm }{\centi \metre }\)
\(\newcommand {\dm }{\deci \metre }\)
\(\newcommand {\m }{\metre }\)
\(\newcommand {\km }{\kilo \metre }\)
\(\newcommand {\as }{\atto \second }\)
\(\newcommand {\fs }{\femto \second }\)
\(\newcommand {\ps }{\pico \second }\)
\(\newcommand {\ns }{\nano \second }\)
\(\newcommand {\us }{\micro \second }\)
\(\newcommand {\ms }{\milli \second }\)
\(\newcommand {\s }{\second }\)
\(\newcommand {\fmol }{\femto \mol }\)
\(\newcommand {\pmol }{\pico \mol }\)
\(\newcommand {\nmol }{\nano \mol }\)
\(\newcommand {\umol }{\micro \mol }\)
\(\newcommand {\mmol }{\milli \mol }\)
\(\newcommand {\mol }{\mol }\)
\(\newcommand {\kmol }{\kilo \mol }\)
\(\newcommand {\pA }{\pico \ampere }\)
\(\newcommand {\nA }{\nano \ampere }\)
\(\newcommand {\uA }{\micro \ampere }\)
\(\newcommand {\mA }{\milli \ampere }\)
\(\newcommand {\A }{\ampere }\)
\(\newcommand {\kA }{\kilo \ampere }\)
\(\newcommand {\ul }{\micro \litre }\)
\(\newcommand {\ml }{\milli \litre }\)
\(\newcommand {\l }{\litre }\)
\(\newcommand {\hl }{\hecto \litre }\)
\(\newcommand {\uL }{\micro \liter }\)
\(\newcommand {\mL }{\milli \liter }\)
\(\newcommand {\L }{\liter }\)
\(\newcommand {\hL }{\hecto \liter }\)
\(\newcommand {\mHz }{\milli \hertz }\)
\(\newcommand {\Hz }{\hertz }\)
\(\newcommand {\kHz }{\kilo \hertz }\)
\(\newcommand {\MHz }{\mega \hertz }\)
\(\newcommand {\GHz }{\giga \hertz }\)
\(\newcommand {\THz }{\tera \hertz }\)
\(\newcommand {\mN }{\milli \newton }\)
\(\newcommand {\N }{\newton }\)
\(\newcommand {\kN }{\kilo \newton }\)
\(\newcommand {\MN }{\mega \newton }\)
\(\newcommand {\Pa }{\pascal }\)
\(\newcommand {\kPa }{\kilo \pascal }\)
\(\newcommand {\MPa }{\mega \pascal }\)
\(\newcommand {\GPa }{\giga \pascal }\)
\(\newcommand {\mohm }{\milli \ohm }\)
\(\newcommand {\kohm }{\kilo \ohm }\)
\(\newcommand {\Mohm }{\mega \ohm }\)
\(\newcommand {\pV }{\pico \volt }\)
\(\newcommand {\nV }{\nano \volt }\)
\(\newcommand {\uV }{\micro \volt }\)
\(\newcommand {\mV }{\milli \volt }\)
\(\newcommand {\V }{\volt }\)
\(\newcommand {\kV }{\kilo \volt }\)
\(\newcommand {\W }{\watt }\)
\(\newcommand {\uW }{\micro \watt }\)
\(\newcommand {\mW }{\milli \watt }\)
\(\newcommand {\kW }{\kilo \watt }\)
\(\newcommand {\MW }{\mega \watt }\)
\(\newcommand {\GW }{\giga \watt }\)
\(\newcommand {\J }{\joule }\)
\(\newcommand {\uJ }{\micro \joule }\)
\(\newcommand {\mJ }{\milli \joule }\)
\(\newcommand {\kJ }{\kilo \joule }\)
\(\newcommand {\eV }{\electronvolt }\)
\(\newcommand {\meV }{\milli \electronvolt }\)
\(\newcommand {\keV }{\kilo \electronvolt }\)
\(\newcommand {\MeV }{\mega \electronvolt }\)
\(\newcommand {\GeV }{\giga \electronvolt }\)
\(\newcommand {\TeV }{\tera \electronvolt }\)
\(\newcommand {\kWh }{\kilo \watt \hour }\)
\(\newcommand {\F }{\farad }\)
\(\newcommand {\fF }{\femto \farad }\)
\(\newcommand {\pF }{\pico \farad }\)
\(\newcommand {\K }{\mathrm {K}}\)
\(\newcommand {\dB }{\mathrm {dB}}\)
\(\newcommand {\kibi }{\mathrm {Ki}}\)
\(\newcommand {\mebi }{\mathrm {Mi}}\)
\(\newcommand {\gibi }{\mathrm {Gi}}\)
\(\newcommand {\tebi }{\mathrm {Ti}}\)
\(\newcommand {\pebi }{\mathrm {Pi}}\)
\(\newcommand {\exbi }{\mathrm {Ei}}\)
\(\newcommand {\zebi }{\mathrm {Zi}}\)
\(\newcommand {\yobi }{\mathrm {Yi}}\)
\(\let \unit \si \)
\(\let \qty \SI \)
\(\let \qtylist \SIlist \)
\(\let \qtyrange \SIrange \)
\(\let \numproduct \num \)
\(\let \qtyproduct \SI \)
\(\let \complexnum \num \)
\(\newcommand {\complexqty }[3][]{(\complexnum {#2})\si {#3}}\)
\(\newcommand {\mleft }{\left }\)
\(\newcommand {\mright }{\right }\)
\(\newcommand {\mleftright }{}\)
\(\newcommand {\mleftrightrestore }{}\)
\(\require {gensymb}\)
\(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\let \Hat \hat \)
\(\let \Check \check \)
\(\let \Tilde \tilde \)
\(\let \Acute \acute \)
\(\let \Grave \grave \)
\(\let \Dot \dot \)
\(\let \Ddot \ddot \)
\(\let \Breve \breve \)
\(\let \Bar \bar \)
\(\let \Vec \vec \)
\(\require {cancel}\)
\(\newcommand {\Dom }{\operatorname {Dom}}\)
\(\newcommand {\Ran }{\operatorname {Ran}}\)
\(\newcommand {\Dm }{\operatorname {Dm}}\)
\(\newcommand {\Vm }{\operatorname {Vm}}\)
\(\newcommand {\Var }{\operatorname {Var}}\)
\(\newcommand {\SD }{\operatorname {SD}}\)
\(\newcommand {\ExV }{\operatorname {E}}\)
\(\newcommand {\opointtext }{\textcolor {blue}{\circ }}\)
\(\newcommand {\cpointtext }{\textcolor {blue}{\bullet }}\)
\(\newcommand {\vectwo }[2]{\begin {pmatrix} #1 \\ #2 \end {pmatrix}}\)
\(\newcommand {\tcbset }[1]{}\)
\(\newcommand {\tcbsetforeverylayer }[1]{}\)
\(\newcommand {\tcbox }[2][]{\boxed {\text {#2}}}\)
\(\newcommand {\tcboxfit }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\tcblower }{}\)
\(\newcommand {\tcbline }{}\)
\(\newcommand {\tcbtitle }{}\)
\(\newcommand {\tcbsubtitle [2][]{\mathrm {#2}}}\)
\(\newcommand {\tcboxmath }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\tcbhighmath }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }\)
\(\let \midrule \toprule \)
\(\let \bottomrule \toprule \)
\(\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}\)
\(\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}\)
\(\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }\)
\(\newcommand {\morecmidrules }{}\)
\(\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }\)
\(\newcommand {\addlinespace }[1][]{}\)
\(\def \LWRsiunitxrangephrase {\TextOrMath { }{\ }\protect \mbox {to (numerical range)}\TextOrMath { }{\ }}\)
\(\def \LWRsiunitxdecimal {.}\)
8.7 Beviser til finansiel regning
Beviser til kapitalfremskrivning
Beviserne her er så nemme, at jeg har lavet dem som øvelser. I kan dog se de fulde beviser i facit, hvis I ikke kan finde ud af dem.
Øvelse 8.7.1
Formlen for renten i en kapitalfremskrivning ser således ud:
\[r=\sqrt [n]{\frac {K_n}{K_0}}-1\]
Løsning 8.7.1
-
a) Ifølge fremskrivningsformlen er
\[K_n=K_0(1+r)^n.\]
Vi dividerer nu med \(K_0\) på begge sider:
\[\frac {K_n}{K_0}=(1+r)^n.\]
Vi tager derefter den n’te rod på begge sider:
\[\sqrt [n]{\frac {K_n}{K_0}}=(1+r).\]
Vi trækker \(1\) fra på begge sider:
\[\sqrt [n]{\frac {K_n}{K_0}}-1=r,\]
og bytter rundt på højre og venstre side:
\[r=\sqrt [n]{\frac {K_n}{K_0}}-1.\]
Øvelse 8.7.2
Vi husker at formlen \(K_0=K_n(1+r)^{-n}\) også kaldes ”tilbageskrivningsformlen”.
VINK: Gang fremskrivningsformlen med \((1+r)^{-n}\) på begge sider og brug en passende potensregneregel.
Løsning 8.7.2
-
a) Ifølge fremskrivningsformlen er:
\[K_n=K_0(1+r)^n.\]
Vi isolerer nu \(K_0\) ved at gange med \((1+r)^{-n}\) på begge sider:
\[K_n (1+r)^{-n} =K_0(1+r)^n (1+r)^{-n}\]
Vi bruger nu potensregnereglen \(a^p \cdot a^q = a^{p+q}\) på højresiden:
\[K_n (1+r)^{-n} =K_0(1+r)^{n+{-n}}\]
Vi reducerer:
\[K_n (1+r)^{-n} =K_0(1+r)^0\]
og bruger reglen \(a^0=1\) på højresiden:
\[K_n (1+r)^{-n} =K_0\]
Til sidst bytter vi rundt på højre og venstre side:
\[K_0=K_n(1+r)^{-n}\]
Øvelse 8.7.3
Formlen for antallet af terminer i en kapitalfremskrivning ser således ud:
\[n=\frac {\ln (\frac {K_n}{K_0})}{\ln (1+r)}\]
Løsning 8.7.3
-
a) følge fremskrivningsformlen er
\[K_n=K_0(1+r)^n\]
Vi dividerer nu med \(K_0\) på begge sider:
\[\frac {K_n}{K_0}=(1+r)^n\]
Vi skal finde \(n\) og åh nej det er jo rigtig dumt for \(n\) står i eksponenten. Heldigvis har vi lært om logaritmer, som kan bruges til at fiske \(n\) ned. Så vi tager den naturlige logaritme på begge sider:
\[\ln (\frac {K_n}{K_0})=\ln ((1+r)^n)\]
Vi benytter reglen \(\ln (a^p)=p\cdot \ln (a)\) og får:
\[\ln (\frac {K_n}{K_0})=n\cdot \ln (1+r)\]
Vi dividerer så med \(\ln (1+r)\) på begge sider:
\[\frac {\ln (\frac {K_n}{K_0})}{\ln (1+r)}=n\]
og bytter rundt på højre og venstre side:
\[n=\frac {\ln (\frac {K_n}{K_0})}{\ln (1+r)}\]
Beviser til annuitetsregning
Fremtidsværdien af en annuitet (B-niveau-version)
Her på mathhx er der to beviser for fremskrivningsformlen. Dette første og mest simple bevis er tænkt til B-niveau, mens det andet bevis er tænkt til A-niveau. Man kan dog lave begge beviser på begge niveauer.
-
Sætning 8.2.1
Fremtidsværdien \(A_n\) af en annuitet bestående af \(n\) ydelser \(y\) ved en rentefod på \(r\), er givet ved:
\[A_n=y\cdot \frac {(1+r)^n-1}{r}\]
-
Bevis
Fremtidsværdien \(A_n\) betyder summen af alle ydelserne skrevet frem til det tidspunkt, hvor den sidste ydelse ligger. Dvs:
\[A_n=y+y(1+r)+y(1+r)^2+\cdots + y(1+r)^{n-1}\]
Læg mærke til, at den første ydelse i regnestykket er den sidste ydelse på tidslinjen (den får ikke tilskrevet nogle renter). Vi sætter nu \(a=1+r\):
\[A_n=y+ya+ya^2+\cdots +ya^{n-1}\]
Vi sætter \(y\) ud foran parentesen:
\[A_n=y(1+a+a^2+\cdots +a^{n-1})\]
Vi ganger med \(a-1\), hvorefter vi dividerer med \(a-1\). Dette er tilladt fordi gange og division er hinandens omvendte, så når vi gør begge dele beholder vi værdien af udtrykket.
\[A_n=\frac {y(1+a+a^2+\cdots +a^{n-1})(a-1)}{a-1}\]
Vi sætter \(y\) ned foran brøken og ganger parenteserne ud i brøkens tæller:
\[A_n=y\frac {a+a^2+\cdots +a^n-1-a-a^2-\cdots -a^{n-1}}{a-1}\]
Vi reducerer:
\[A_n=y\frac {a^n-1}{a-1}\]
Vi husker at \(a=1+r\):
\(\seteqnumber{0}{8.}{0}\)
\begin{align*}
A_n & =y\frac {(1+r)^n-1}{1+r-1}\\ & =y\frac {(1+r)^n-1}{r}
\end{align*}
hvilket var det, vi skulle nå frem til.
Fremtidsværdien af en annuitet (A-niveau-version)
Der er som skrevet to beviser for fremtidsværdien. Dette er det ”svære” bevis. Hvorfor gøre noget sværere end det behøver at være? Det spørgsmål vil jeg besvare efter jeg har lavet det ”svære bevis”, som består af to dele. Først
starter vi med en definition:
-
Definition 8.7.1
En geometrisk række er et udtryk på formen
\[a+ar+ar^2+ar^3+\cdots \]
hvor \(a\) og \(r\) er tal.
Så en geometrisk række er altså en uendelig sum. I vores tilfælde er vi dog kun interesseret i en del af denne sum. Mere specifik har vi brug for delsummen af de første \(n\) led som betegnes \(s_n\).
-
Bevis
Vi starter med at opskrive \(s_n\):
\[s_n=a+ar+ar^2+\cdots + ar^{n-1}\]
Nu ganger vi med \(r\) på begge sider
\[r s_n= r(a+ar+ar^2+\cdots + ar^{n-1})\]
og ganger parentesen ud:
\[r s_n= ar+ar^2+ar^3+\cdots + ar^n\]
Vi har nu et udtryk for \(s_n\) og et udtryk for \(r s_n\). Vi trækker \(r s_n\) fra \(s_n\)
\[s_n - r s_n= a+ar+ar^2+\cdots + ar^{n-1} - (ar+ar^2+ar^3+\cdots +ar^n)\]
Vi hæver nu parentesen:
\[s_n - r s_n= a+ar+ar^2+\cdots + ar^{n-1} - ar-ar^2-ar^3-\cdots - ar^n\]
Vi ser at de fleste led går ud på højresiden. Tilbage har vi:
\[s_n - r s_n= a - ar^n\]
Vi faktoriserer nu med \(s_n\) på venstresiden og med \(a\) på højresiden:
\[s_n(1-r)= a(1-r^n)\]
Vi kan så dividere vi med \(1-r\) på begge sider:
\[s_n=a\frac {1-r^n}{1-r}\]
Ved hjælp af den netop beviste sætning, kan vi nu bevise formlen for fremtidsværdien:
-
Sætning 8.2.1
Fremtidsværdien \(A_n\) af en annuitet bestående af \(n\) ydelser \(y\) ved en rentefod på \(r\), er givet ved:
\[A_n=y\cdot \frac {(1+r)^n-1}{r}\]
-
Bevis
Fremtidsværdien \(A_n\) betyder summen af alle ydelserne skrevet frem til det tidspunkt, hvor det sidste ydelse ligger. Dvs:
\[A_n=y+y(1+r)+y(1+r)^2+\cdots + y(1+r)^{n-1}\]
Vi ser at \(A_n\) har form som en delsum af en geometrisk række, hvor \(y\) optræder i stedet for \(a\) og \(r+1\) i stedet for \(r\). I følge sætning 8.7.1 kan \(A_n\) derfor skrives som:
\[A_n=y\frac {1-(1+r)^n}{1-(1+r)}\]
Vi reducerer:
\[A_n=y\frac {1-(1+r)^n}{-r}\]
Vi forlænger nu brøken med \(-1\):
\(\seteqnumber{0}{8.}{0}\)
\begin{align*}
A_n & = y\frac {-1(1-(1+r)^n)}{-1(-r)} \\ & = y\frac {-1+(1+r)^n}{r} \\ & = y\frac {(1+r)^n-1}{r}
\end{align*}
Så hvorfor dette bevis? Fordi vi står med et stærkere resultat. Vi har selvfølgelig bevist fremskrivningsformlen, men vi har også fået introduceret geometriske rækker og vist en generel sætning, som kan bruge i andre sammenhænge
også. Og så meget sværere var det heller ikke, vel?
Nutidsværdi af en annuitet
I det følgende bevis får vi brug noget ekstra forståelse i forhold til kapitalfremskrivning. Lad os sige, at vi skal tilbageskrive en kapital med \(5\) terminer. Hvis vi har lyst, så kan vi i stedet fremskrive kapitalen med \(10\)
terminer efterfulgt at en tilbageskrivning på \(15\) terminer. Det vil give det samme. Man kan nemlig tænke på frem og tilbageskrivninger som, at de flytter kapitalen frem og tilbage på tidslinjen. Hvis vi først går \(10\) terminer
frem, og så \(15\) terminer tilbage, svarer det selvfølgelig til at gå \(5\) terminer tilbage alt i alt.
-
Sætning 8.3.1
Nutidsværdien \(A_0\) af en annuitet bestående af \(n\) ydelser \(y\) ved en rentefod på \(r\), er givet ved:
\[A_0=y\cdot \frac {1-(1+r)^{-n}}{r}\]
-
Bevis
Nutidsværdien \(A_0\) er defineret som summen af alle ydelserne skrevet tilbage til terminen før den første termin. Vi vil lave den tilbageskrivning på en snedig måde. Først skriver vi alle
ydelserne frem til sidste termin. Det giver os \(A_n\) som vi allerede har en formel for. Fordi alle ydelserne nu ligger samlet på sidste termin, kan vi finde \(A_0\) ved skrive dem tilbage med tilbageskrivningsformlen:
\[A_0=A_n\cdot (1+r)^{-n}\]
Vi indsætter formlen for \(A_n\)
\[A_0=y\frac {(1+r)^n-1}{r} \cdot (1+r)^{-n}\]
Vi ganger \((1+r)^{-n}\) op i tælleren
\[A_0=y\frac {\big ((1+r)^n-1\big ) \cdot (1+r)^{-n}}{r}\]
og ganger parentesen i tælleren ud
\[A_0=y\frac {(1+r)^n\cdot (1+r)^{-n}-(1+r)^{-n}}{r}\]
Vi har \((1+r)^n\cdot (1+r)^{-n}=(1+r)^{n-n}=(1+r)^0=1\), så
\[A_0=y\frac {1-(1+r)^{-n}}{r}\]
hvilket var det, vi skulle vise.
Gennemsnitlig og effektiv rente
-
Sætning 8.5.2
Antag at en kapital bliver tilskrevet rentefødderne \(r_1,r_2,r_3,\ldots , r_n\). Den gennemsnitlige rentefod \(r_g\) er så givet ved:
\[r_g=\sqrt [n]{(1+r_1)\cdot (1+r_2)\cdot \cdots \cdot (1+r_n)}-1.\]
-
Bevis
Antag, at vi har en kapital \(K\), der bliver tilskrevet rentefødderne \(r_1,r_2,r_3,\ldots , r_n\). Man kan finde slutbeløbet ved at gange \(K\) med \(1+r\) for hver af de forskellige
rentefødder. Dvs.:
\[\text {slutbeløb}=K\cdot (1+r_1)\cdot (1+r_2)\cdot \cdots \cdot (1+r_n)\]
Vi leder nu efter en rentefod som tilskrevet \(n\) gange giver samme slutbeløb:
\[K\cdot (1+r_g)^n= K\cdot (1+r_1)\cdot (1+r_2)\cdot \cdots \cdot (1+r_n)\]
Vi dividerer med \(K\) på begge sider:
\[(1+r_g)^n=(1+r_1)\cdot (1+r_2)\cdot \cdots \cdot (1+r_n)\]
Vi tager den \(n\)’te rod på begge sider:
\[1+r_g=\sqrt [n]{(1+r_1)\cdot (1+r_2)\cdot \cdots \cdot (1+r_n)}\]
Vi trækker 1 fra på begge sider:
\[r_g=\sqrt [n]{(1+r_1)\cdot (1+r_2)\cdot \cdots \cdot (1+r_n)}-1\]
og vi har vist sætningen.
Øvelse 8.7.4
Betragt sætningen: