Der vil komme en dag, hvor vi vil definere en funktionstype på en anden måde end ved at angive en forskrift. Men denne dag er ikke i dag. Vi gør nemlig som vi plejer og definerer eksponentielle funktioner ved at angive en forskrift.
Definition 6.1.1 En eksponentiel funktion er en
funktion med forskriften:
Tallet \(a\) kaldes grundtallet eller fremskrivningsfaktoren, og \(b\) kaldes begyndelsesværdien.
Øvelse 6.1.1
I definitionen stod der: \(a>0\), \(a\neq 1\) og \(b>0\).
a) Hvad betyder det?
Løsning 6.1.1
a) \(a>0\) betyder at \(a\) skal være større end nul. At \(a\neq 1\) betyder, at \(a\) ikke må være \(1\). At \(b>0\) betyder, at \(b\) skal være
større end nul.
Øvelse 6.1.2
Mange elever kan ikke finde ud af at udtale ”eksponentiel funktion” korrekt. Det udtales ellers præcist som det staves.
a) Sig ”eksponentiel funktion” højt 5 gange efter hinanden.
Afgør hvilke af følgende funktioner der er eksponentielle funktioner:
a) \(f(x)=2\cdot 3^x\)
b) \(f(x)=2x^2+1\)
c) \(f(x)=4\cdot x^2\)
d) \(f(x)=1{,}3^x\)
e) \(f(x)=20\cdot 1^x\)
f) \(f(x)=-3\cdot 6^x\)
g) \(f(x)=5\cdot 1^x\)
Løsning 6.1.3
a) Eksponentiel.
b) Ikke eksponentiel.
c) Ikke eksponentiel.
d) Eksponentiel.
e) Ikke eksponentiel.
f) Ikke eksponentiel.
g) Ikke eksponentiel.
Øvelse 6.1.4
Bestem \(a\) og \(b\) i følgende eksponentielle funktioner.
a) \(f(x)=2\cdot 5^x\)
b) \(f(x)=3000\cdot 1{,}02^x\)
c) \(f(x)=1{,}4^x\)
Løsning 6.1.4
a) \(a=5\) og \(b=2\).
b) \(a=1{,}02\) og \(b=3000\).
c) \(a=1{,}4\) og \(b=1\)
Øvelse 6.1.5
Lad \(f(x)=5000\cdot 1{,}6^x\).
a) Bestem grundtallet og begyndelsesværdien.
b) Bestem \(f(-1)\) og \(f(3)\). Brug en lommeregner/GeoGebra.
Løsning 6.1.5
a) Grundtallet er \(1{,}6\) og begyndelsesværdien er \(5000\).
b) \(f(-1)=3125\) og \(f(3)=20480\).
Øvelse 6.1.6
Antag, at indbyggertallet i en bestemt by kan beskrives med funktionen
\[f(x)=10312\cdot 1{,}05^x\]
hvor \(f(x)\) er indbyggertallet \(x\) år efter 2020.
a) Hvor mange indbyggere er der i byen 5 år efter 2020?
b) Hvor mange indbyggere er der i byen i år 2031?
Løsning 6.1.6
a) Der er \(13161\) indbyggere i byen efter 5 år.
b) Der er \(17637\) indbyggere i år 2031.
Den naturlige eksponentialfunktion
Leonhard Euler
Leonhard Euler var en cool matematiker, som levede i tidsrummet 1707-1783. Han regnes som at være en af historiens allerstørste matematikere. Det er vi dog ligeglade med lige nu, vi skal bare bruge et tal som er opkaldt efter
ham, nemlig Eulers tal. Dette tal bliver betegnet med \(e\) og er givet ved:
\[e=2.71828182845904523536\ldots .\]
Eulers tal er, ligesom \(\pi \), et tal med uendelig mange decimaler uden noget system. Ligesom vi husker \(\pi =3{,}14\) vil vi også huske \(e=2{,}72\).
Definition 6.1.2 Funktionen med forskriften \(f(x)=e^x\) kaldes den naturlige eksponentialfunktion.
Eksempel 6.1.1 Vi kan beregne \(e^3\) i GeoGebra.
Har vi et algebra vindue kan man bare skrive et almindeligt ”e”:
Skriver man et almindeligt ”e” i CAS tror GeoGebra at man mener ”en variable som hedder e” i stedet for Eulers tal. Derfor skal man finde Eulers tal på det virtuelle tastatur. Vi klikker først i et CAS input og så dukker der et lille
tastatur op nederst til venstre:
Her finder vi Eulers tal \(e\):
Vi kan nu regne \(e^3\) i CAS-vinduet:
Øvelse 6.1.7
Åben GeoGebra
a) Regn \(e^2\) i et Algebravindue.
b) Regn \(e^2\) i et CAS-vindue.
Løsning 6.1.7
a) \(e^2=7{,}39\)
b) \(e^2=7{,}39\)
Eksponentielle funktioners graf
Grafen for en eksponentiel funktion \(f\) kan se ud på to måder alt efter værdien af \(a\):
Vi ser, at \(b\) er der, hvor funktionen skærer \(y\)-aksen, og at \(a\) afgører om funktionen er voksende eller aftagende. Vi skal se nærmere på betydningen af \(a\) i afsnittet om eksponentiel vækst. Som graferne antyder, har
alle eksponentielle funktioner samme definitions- og værdimængde:
b) Bestem \(f(0)\) ved at betragte forskriften (du skal ikke regne).
c) Beregn \(f(2)\).
d) Hvad kan man sige om grafen ud fra forskriften.
Løsning 6.1.8
a) Grundtallet er \(4\) og begyndelsesværdien er \(2\).
b) \(f(0)=2\)
c) \(f(2)=32\)
d) Grafen skærer \(y\)-aksen i \(2\) og funktionen er voksende.
Øvelse 6.1.9
Betragt graferne for den eksponentielle funktion \(f(x)=ba^x\)
a) Bestem \(b\).
b) Hvad kan man sige om værdien af \(a\)?
c) Bestem ved aflæsning \(f(4)\).
d) Løs ved aflæsning \(f(x)=4\).
Løsning 6.1.9
a) \(b=5\)
b) \(a<1\)
c) \(f(4)\approx 2\)
d) \(x=1\)
Bestemmelse af forskriften når vi kender to punkter på grafen
Ligesom ved lineære funktioner kan vi finde forskriften, når vi kender to punkter på grafen. Vi har følgende sætning:
Sætning 6.1.1 Hvis grafen for en eksponentiel funktion \(f(x)=ba^x\) går igennem punkterne \((x_0,y_0)\) og \((x_1,y_1)\) så
kan \(a\) og \(b\) bestemmes med følgende formler:
Det er en forudsætning for at kunne anvende sætningen, at man kan uddrage rødder. Altså at man kan beregne f.eks. \(\sqrt [3]{8}\). Metoden til at indtaste den slags udtryk afhænger af hvilket computerprogram/lommeregner
man bruger. Men er er et smart trick. Man kan bruge reglen \(\sqrt [n]{a}=a^\frac {1}{n}\) til at indtaste roden på en simpel måde.
Eksempel 6.1.2 Vi vil udregne \(\sqrt [3]{8}\). Ifølge reglen \(\sqrt [n]{a}=a^\frac {1}{n}\) gælder:
\[\sqrt [3]{8}=8^{\frac {1}{3}}\]
Vi taster derfor følgende ind på lommeregneren/Excel:
\[\verb |8^(1/3)|\]
Det giver så \(2\).
Øvelse 6.1.10
Udregn følgende rødder:
a) \(\sqrt [3]{27}\) (kan du regne den i hovedet?)
b) \(\sqrt [4]{16}\) (kan du regne den i hovedet?)
c) \(\sqrt [5]{10}\) (kræver hjælp fra computer/lommeregner)
Løsning 6.1.10
a) \(\sqrt [3]{27}=3\)
b) \(\sqrt [4]{16}=2\)
c) \(\sqrt [5]{10}=1{,}58\)
Eksempel 6.1.3 Vi vil bestemme forskriften for den eksponentielle funktion \(f\), som går gennem punkterne \((4,6)\) og \((7,12)\) ved hjælp af sætning 6.1.1. Vi har:
\(x_0=4\)
\(y_0=6\)
\(x_1=7\)
\(y_1=12\)
Vi finder først \(a\):
\(\seteqnumber{0}{6.}{0}\)
\begin{align*}
a & = \sqrt [\leftroot {4}\uproot {3}x_1-x_0]{\frac {y_1}{y_0}}\\ & = \sqrt [\leftroot {4}\uproot {3}7-4]{\frac {12}{6}}\\ & = \sqrt [4]{2}\\ & = 1{,}2599.
\end{align*}
Vi finder derefter \(b\):
Vi ser, at en eksponentialfunktion er det samme som en eksponentiel funktion, hvor \(b=1\). Vi har faktisk allerede mødt en eksponentialfunktion nemlig \(e^x\).
Typisk møder man eksponentielle funktioner i forbindelse med modellering (dvs. løsning af praktiske problemer med matematik), mens man møder eksponentialfunktioner i forbindelse med ren matematik.
