MATHHX B

MATHHX B

\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\) \(\def \LWRfootnote {1}\) \(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\let \LWRorighspace \hspace \) \(\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }\) \(\newcommand {\TextOrMath }[2]{#2}\) \(\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}\) \(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\) \(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \) \(\newcommand {\setlength }[2]{}\) \(\newcommand {\addtolength }[2]{}\) \(\newcommand {\setcounter }[2]{}\) \(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\) \(\newcommand {\arabic }[1]{}\) \(\newcommand {\number }[1]{}\) \(\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\newcommand {\cline }[1]{}\) \(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\protect }{}\) \(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\) \(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\) \(\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}\) \(\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }\) \(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\) \(\def \mathcode #1={\mathchar }\) \(\let \delcode \mathcode \) \(\let \delimiter \mathchar \) \(\def \oe {\unicode {x0153}}\) \(\def \OE {\unicode {x0152}}\) \(\def \ae {\unicode {x00E6}}\) \(\def \AE {\unicode {x00C6}}\) \(\def \aa {\unicode {x00E5}}\) \(\def \AA {\unicode {x00C5}}\) \(\def \o {\unicode {x00F8}}\) \(\def \O {\unicode {x00D8}}\) \(\def \l {\unicode {x0142}}\) \(\def \L {\unicode {x0141}}\) \(\def \ss {\unicode {x00DF}}\) \(\def \SS {\unicode {x1E9E}}\) \(\def \dag {\unicode {x2020}}\) \(\def \ddag {\unicode {x2021}}\) \(\def \P {\unicode {x00B6}}\) \(\def \copyright {\unicode {x00A9}}\) \(\def \pounds {\unicode {x00A3}}\) \(\let \LWRref \ref \) \(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\) \( \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}\) \(\require {textcomp}\) \(\require {colortbl}\) \(\let \LWRorigcolumncolor \columncolor \) \(\renewcommand {\columncolor }[2][named]{\LWRorigcolumncolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigrowcolor \rowcolor \) \(\renewcommand {\rowcolor }[2][named]{\LWRorigrowcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigcellcolor \cellcolor \) \(\renewcommand {\cellcolor }[2][named]{\LWRorigcellcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\newcommand {\tothe }[1]{^{#1}}\) \(\newcommand {\raiseto }[2]{{#2}^{#1}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxEND }{}\) \(\def \LWRsiunitxang #1;#2;#3;#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#1}{}{\num {#1}\degree }\ifblank {#2}{}{\num {#2}^{\unicode {x2032}}}\ifblank {#3}{}{\num {#3}^{\unicode {x2033}}}}\) \(\newcommand {\ang }[2][]{\LWRsiunitxang #2;;;\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxdistribunit {}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxENDTWO }{}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,#2,#3\LWRsiunitxENDTWO {\ifblank {#1}{0}{\mathrm {#1}}\ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\mathrm {#2}}}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsub #1.#2.#3\LWRsiunitxEND {\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,,\LWRsiunitxENDTWO \ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #2,,\LWRsiunitxENDTWO }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxprintdecimal }[1]{\LWRsiunitxprintdecimalsub #1...\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxnumplus #1+#2+#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}{\ifblank {#1}{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x02B}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumminus #1-#2-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumplus #1+++\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#1}{}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}\unicode {x02212}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm #2\pm #3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumminus #1---\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpm #1+-#2+-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm \pm \pm \LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxnumscientific }[2]{\ifblank {#1}{}{\ifstrequal {#1}{-}{-}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\times }}10^{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumD #1D#2D#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpm #1+-+-\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumd #1d#2d#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumD #1DDD\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumE #1E#2E#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumd #1ddd\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnume #1e#2e#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumE #1EEE\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumx #1x#2x#3x#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#3}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #3eee\LWRsiunitxEND }}}\) \(\newcommand {\num }[2][]{\LWRsiunitxnumx #2xxxxx\LWRsiunitxEND }\) \(\newcommand {\si }[2][]{\mathrm {\gsubstitute {#2}{~}{\,}}}\) \(\def \LWRsiunitxSIopt #1[#2]#3{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#3}}{#2}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxSI }[2]{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#2}}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\SI }[2][]{\ifnextchar [{\LWRsiunitxSIopt {#2}}{\LWRsiunitxSI {#2}}}\) \(\newcommand {\numlist }[2][]{\text {#2}}\) \(\newcommand {\numrange }[3][]{\num {#2}\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}}\) \(\newcommand {\SIlist }[3][]{\text {#2}\,\si {#3}}\) \(\newcommand {\SIrange }[4][]{\num {#2}\,#4\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}\,#4}\) \(\newcommand {\tablenum }[2][]{\mathrm {#2}}\) \(\newcommand {\ampere }{\mathrm {A}}\) \(\newcommand {\candela }{\mathrm {cd}}\) \(\newcommand {\kelvin }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\kilogram }{\mathrm {kg}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\mole }{\mathrm {mol}}\) \(\newcommand {\second }{\mathrm {s}}\) \(\newcommand {\becquerel }{\mathrm {Bq}}\) \(\newcommand {\degreeCelsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\coulomb }{\mathrm {C}}\) \(\newcommand {\farad }{\mathrm {F}}\) \(\newcommand {\gray }{\mathrm {Gy}}\) \(\newcommand {\hertz }{\mathrm {Hz}}\) \(\newcommand {\henry }{\mathrm {H}}\) \(\newcommand {\joule }{\mathrm {J}}\) \(\newcommand {\katal }{\mathrm {kat}}\) \(\newcommand {\lumen }{\mathrm {lm}}\) \(\newcommand {\lux }{\mathrm {lx}}\) \(\newcommand {\newton }{\mathrm {N}}\) \(\newcommand {\ohm }{\mathrm {\Omega }}\) \(\newcommand {\pascal }{\mathrm {Pa}}\) \(\newcommand {\radian }{\mathrm {rad}}\) \(\newcommand {\siemens }{\mathrm {S}}\) \(\newcommand {\sievert }{\mathrm {Sv}}\) \(\newcommand {\steradian }{\mathrm {sr}}\) \(\newcommand {\tesla }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\volt }{\mathrm {V}}\) \(\newcommand {\watt }{\mathrm {W}}\) \(\newcommand {\weber }{\mathrm {Wb}}\) \(\newcommand {\day }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\degree }{\mathrm {^\circ }}\) \(\newcommand {\hectare }{\mathrm {ha}}\) \(\newcommand {\hour }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\litre }{\mathrm {l}}\) \(\newcommand {\liter }{\mathrm {L}}\) \(\newcommand {\arcminute }{^\prime }\) \(\newcommand {\minute }{\mathrm {min}}\) \(\newcommand {\arcsecond }{^{\prime \prime }}\) \(\newcommand {\tonne }{\mathrm {t}}\) \(\newcommand {\astronomicalunit }{au}\) \(\newcommand {\atomicmassunit }{u}\) \(\newcommand {\bohr }{\mathit {a}_0}\) \(\newcommand {\clight }{\mathit {c}_0}\) \(\newcommand {\dalton }{\mathrm {D}_\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\electronmass }{\mathit {m}_{\mathrm {e}}}\) \(\newcommand {\electronvolt }{\mathrm {eV}}\) \(\newcommand {\elementarycharge }{\mathit {e}}\) \(\newcommand {\hartree }{\mathit {E}_{\mathrm {h}}}\) \(\newcommand {\planckbar }{\mathit {\unicode {x210F}}}\) \(\newcommand {\angstrom }{\mathrm {\unicode {x212B}}}\) \(\let \LWRorigbar \bar \) \(\newcommand {\barn }{\mathrm {b}}\) \(\newcommand {\bel }{\mathrm {B}}\) \(\newcommand {\decibel }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\knot }{\mathrm {kn}}\) \(\newcommand {\mmHg }{\mathrm {mmHg}}\) \(\newcommand {\nauticalmile }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\neper }{\mathrm {Np}}\) \(\newcommand {\yocto }{\mathrm {y}}\) \(\newcommand {\zepto }{\mathrm {z}}\) \(\newcommand {\atto }{\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\femto }{\mathrm {f}}\) \(\newcommand {\pico }{\mathrm {p}}\) \(\newcommand {\nano }{\mathrm {n}}\) \(\newcommand {\micro }{\mathrm {\unicode {x00B5}}}\) \(\newcommand {\milli }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\centi }{\mathrm {c}}\) \(\newcommand {\deci }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\deca }{\mathrm {da}}\) \(\newcommand {\hecto }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\kilo }{\mathrm {k}}\) \(\newcommand {\mega }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\giga }{\mathrm {G}}\) \(\newcommand {\tera }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\peta }{\mathrm {P}}\) \(\newcommand {\exa }{\mathrm {E}}\) \(\newcommand {\zetta }{\mathrm {Z}}\) \(\newcommand {\yotta }{\mathrm {Y}}\) \(\newcommand {\percent }{\mathrm {\%}}\) \(\newcommand {\meter }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\gram }{\mathrm {g}}\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\of }[1]{_{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\squared }{^2}\) \(\newcommand {\square }[1]{\mathrm {#1}^2}\) \(\newcommand {\cubed }{^3}\) \(\newcommand {\cubic }[1]{\mathrm {#1}^3}\) \(\newcommand {\per }{\,\mathrm {/}}\) \(\newcommand {\celsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\fg }{\femto \gram }\) \(\newcommand {\pg }{\pico \gram }\) \(\newcommand {\ng }{\nano \gram }\) \(\newcommand {\ug }{\micro \gram }\) \(\newcommand {\mg }{\milli \gram }\) \(\newcommand {\g }{\gram }\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\amu }{\mathrm {u}}\) \(\newcommand {\nm }{\nano \metre }\) \(\newcommand {\um }{\micro \metre }\) \(\newcommand {\mm }{\milli \metre }\) \(\newcommand {\cm }{\centi \metre }\) \(\newcommand {\dm }{\deci \metre }\) \(\newcommand {\m }{\metre }\) \(\newcommand {\km }{\kilo \metre }\) \(\newcommand {\as }{\atto \second }\) \(\newcommand {\fs }{\femto \second }\) \(\newcommand {\ps }{\pico \second }\) \(\newcommand {\ns }{\nano \second }\) \(\newcommand {\us }{\micro \second }\) \(\newcommand {\ms }{\milli \second }\) \(\newcommand {\s }{\second }\) \(\newcommand {\fmol }{\femto \mol }\) \(\newcommand {\pmol }{\pico \mol }\) \(\newcommand {\nmol }{\nano \mol }\) \(\newcommand {\umol }{\micro \mol }\) \(\newcommand {\mmol }{\milli \mol }\) \(\newcommand {\mol }{\mol }\) \(\newcommand {\kmol }{\kilo \mol }\) \(\newcommand {\pA }{\pico \ampere }\) \(\newcommand {\nA }{\nano \ampere }\) \(\newcommand {\uA }{\micro \ampere }\) \(\newcommand {\mA }{\milli \ampere }\) \(\newcommand {\A }{\ampere }\) \(\newcommand {\kA }{\kilo \ampere }\) \(\newcommand {\ul }{\micro \litre }\) \(\newcommand {\ml }{\milli \litre }\) \(\newcommand {\l }{\litre }\) \(\newcommand {\hl }{\hecto \litre }\) \(\newcommand {\uL }{\micro \liter }\) \(\newcommand {\mL }{\milli \liter }\) \(\newcommand {\L }{\liter }\) \(\newcommand {\hL }{\hecto \liter }\) \(\newcommand {\mHz }{\milli \hertz }\) \(\newcommand {\Hz }{\hertz }\) \(\newcommand {\kHz }{\kilo \hertz }\) \(\newcommand {\MHz }{\mega \hertz }\) \(\newcommand {\GHz }{\giga \hertz }\) \(\newcommand {\THz }{\tera \hertz }\) \(\newcommand {\mN }{\milli \newton }\) \(\newcommand {\N }{\newton }\) \(\newcommand {\kN }{\kilo \newton }\) \(\newcommand {\MN }{\mega \newton }\) \(\newcommand {\Pa }{\pascal }\) \(\newcommand {\kPa }{\kilo \pascal }\) \(\newcommand {\MPa }{\mega \pascal }\) \(\newcommand {\GPa }{\giga \pascal }\) \(\newcommand {\mohm }{\milli \ohm }\) \(\newcommand {\kohm }{\kilo \ohm }\) \(\newcommand {\Mohm }{\mega \ohm }\) \(\newcommand {\pV }{\pico \volt }\) \(\newcommand {\nV }{\nano \volt }\) \(\newcommand {\uV }{\micro \volt }\) \(\newcommand {\mV }{\milli \volt }\) \(\newcommand {\V }{\volt }\) \(\newcommand {\kV }{\kilo \volt }\) \(\newcommand {\W }{\watt }\) \(\newcommand {\uW }{\micro \watt }\) \(\newcommand {\mW }{\milli \watt }\) \(\newcommand {\kW }{\kilo \watt }\) \(\newcommand {\MW }{\mega \watt }\) \(\newcommand {\GW }{\giga \watt }\) \(\newcommand {\J }{\joule }\) \(\newcommand {\uJ }{\micro \joule }\) \(\newcommand {\mJ }{\milli \joule }\) \(\newcommand {\kJ }{\kilo \joule }\) \(\newcommand {\eV }{\electronvolt }\) \(\newcommand {\meV }{\milli \electronvolt }\) \(\newcommand {\keV }{\kilo \electronvolt }\) \(\newcommand {\MeV }{\mega \electronvolt }\) \(\newcommand {\GeV }{\giga \electronvolt }\) \(\newcommand {\TeV }{\tera \electronvolt }\) \(\newcommand {\kWh }{\kilo \watt \hour }\) \(\newcommand {\F }{\farad }\) \(\newcommand {\fF }{\femto \farad }\) \(\newcommand {\pF }{\pico \farad }\) \(\newcommand {\K }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\dB }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\kibi }{\mathrm {Ki}}\) \(\newcommand {\mebi }{\mathrm {Mi}}\) \(\newcommand {\gibi }{\mathrm {Gi}}\) \(\newcommand {\tebi }{\mathrm {Ti}}\) \(\newcommand {\pebi }{\mathrm {Pi}}\) \(\newcommand {\exbi }{\mathrm {Ei}}\) \(\newcommand {\zebi }{\mathrm {Zi}}\) \(\newcommand {\yobi }{\mathrm {Yi}}\) \(\let \unit \si \) \(\let \qty \SI \) \(\let \qtylist \SIlist \) \(\let \qtyrange \SIrange \) \(\let \numproduct \num \) \(\let \qtyproduct \SI \) \(\let \complexnum \num \) \(\newcommand {\complexqty }[3][]{(\complexnum {#2})\si {#3}}\) \(\newcommand {\mleft }{\left }\) \(\newcommand {\mright }{\right }\) \(\newcommand {\mleftright }{}\) \(\newcommand {\mleftrightrestore }{}\) \(\require {gensymb}\) \(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\let \Hat \hat \) \(\let \Check \check \) \(\let \Tilde \tilde \) \(\let \Acute \acute \) \(\let \Grave \grave \) \(\let \Dot \dot \) \(\let \Ddot \ddot \) \(\let \Breve \breve \) \(\let \Bar \bar \) \(\let \Vec \vec \) \(\require {cancel}\) \(\newcommand {\Dom }{\operatorname {Dom}}\) \(\newcommand {\Ran }{\operatorname {Ran}}\) \(\newcommand {\Dm }{\operatorname {Dm}}\) \(\newcommand {\Vm }{\operatorname {Vm}}\) \(\newcommand {\Var }{\operatorname {Var}}\) \(\newcommand {\SD }{\operatorname {SD}}\) \(\newcommand {\ExV }{\operatorname {E}}\) \(\newcommand {\opointtext }{\textcolor {blue}{\circ }}\) \(\newcommand {\cpointtext }{\textcolor {blue}{\bullet }}\) \(\newcommand {\vectwo }[2]{\begin {pmatrix} #1 \\ #2 \end {pmatrix}}\) \(\newcommand {\tcbset }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbsetforeverylayer }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbox }[2][]{\boxed {\text {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxfit }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcblower }{}\) \(\newcommand {\tcbline }{}\) \(\newcommand {\tcbtitle }{}\) \(\newcommand {\tcbsubtitle [2][]{\mathrm {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcbhighmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }\) \(\let \midrule \toprule \) \(\let \bottomrule \toprule \) \(\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}\) \(\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}\) \(\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }\) \(\newcommand {\morecmidrules }{}\) \(\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }\) \(\newcommand {\addlinespace }[1][]{}\) \(\def \LWRsiunitxrangephrase {\TextOrMath { }{\ }\protect \mbox {to (numerical range)}\TextOrMath { }{\ }}\) \(\def \LWRsiunitxdecimal {.}\)

1.1 Hovedregning

Større regnestykker vil vi altid regne på computer eller lommeregner. Men det er nødvendigt, at kunne lidt hovedregning, da dele af undervisningen foregår uden hjælpemidler. Desuden er hovedregning en forudsætning for bogstavregning, som fylder meget på HHX.

Plus, minus, gange og dividere

Man skal gange og dividere, inden man lægger til og trækker fra. På HHX skriver vi altid division med en brøkstreg. Så vil vi skrive \(20\) divideret med \(5\), skriver vi \(\frac {20}{5}\).

  • Eksempel 1.1.1
    Udtrykket \(2-3\cdot 5\) regnes på følgende måde:

    \[2-3\cdot 5=2-15= -13\]

Øvelse 1.1.1

Regn uden brug af lommeregner/computer:

  • a) \(4+5\cdot 2\)

  • b) \(7-2+3\cdot 2-5\)

  • c) \(4-\frac {6}{3}+2\)

Løsning 1.1.1

  • a) \(4+5\cdot 2=4+10=14\)

  • b) \(7-2+3\cdot 2-5 = 7-2+6-5=6\)

  • c) \(4-\frac {6}{3}+2 = 4-2+2 = 4\)

I udtryk med brøker regnes først tæller og nævner, så divideres, og så regnes resten.

  • Eksempel 1.1.2
    Udtrykket \(\frac {10-2}{4-2}\cdot 2\) regnes på følgende måde:

    \begin{align*} \frac {10-2}{4-2}\cdot 2 & = \frac {8}{2}\cdot 2\\ &= 4\cdot 2\\ & = 8 \end{align*}

Øvelse 1.1.2

Regn uden brug af computer/lommeregner:

  • a) \(3\cdot \frac {10-2}{6-4}+2\)

  • b) \(\frac {8}{8-4}+7\)

  • c) \(2+\frac {3\cdot 5+5}{4}-2\cdot 3\)

Løsning 1.1.2

  • a)

    \begin{align*} 3\cdot \frac {10-2}{6-4}+2 & = 3\cdot \frac {8}{2}+2\\ & =3\cdot 4+2\\ & =12+2\\ & =14 \end{align*}

  • b)

    \begin{align*} \frac {8}{8-4}+7 & = \frac {8}{4}+7\\ & = 2+7\\ &=9 \end{align*}

  • c)

    \begin{align*} 2+\frac {3\cdot 5+5}{4}-2\cdot 3& =2+\frac {20}{4}-2\cdot 3\\ & =2+5-6\\ &=1 \end{align*}

Visse simple divisionsstykker kan forvirre:

  • Eksempel 1.1.3
    Dividere man noget med sig selv, giver det altid \(1\). Har man f.eks. \(3\) personer, der skal dele \(3\) bananer, får de \(1\) hver:

    \[\frac {3}{3} = 1\]

    Division med kommatal:

    \[\frac {1}{0{,}5}=2\quad , \quad \text {(da }0{,}5 \text { går } 2 \text { gange op i }1)\]

    Dividere man \(0\) med noget, får man \(0\). Hvis man f.eks. skal dele \(0\) bananer ud til \(5\) personer, får de ingen bananer:

    \[\frac {0}{5} = 0\]

    Man kan ikke dividere med nul. Skal man f.eks. dele \(5\) bananer ud til \(0\) personer, så kan man ikke komme af med bananerne. Divisionen kan ikke regnes.

    \[\frac {5}{0}\ \text { kan ikke regnes.}\]

Læg mærke til, at man godt kan dividere nul med noget, men man kan ikke dividere noget med nul.

Øvelse 1.1.3

Beregn uden brug af lommeregner/computer:

  • a) \(\frac {7}{7}\)

  • b) \(\frac {6}{0}\)

  • c) \(\frac {27}{9}\)

  • d) \(\frac {0}{89}\)

  • e) \(\frac {3}{0{,}25}\)

Løsning 1.1.3

  • a) \(\frac {7}{7}=1\)

  • b) Kan ikke regnes. Man kan ikke dele med 0

  • c) \(\frac {27}{9}=3\)

  • d) \(\frac {0}{89}=0\)

  • e) \(\frac {3}{0{,}25}=12\)

Fortegn (plus og minus)

Ganger eller dividerer man to ens fortegn, får man plus. To forskellige giver minus.

  • Eksempel 1.1.4
    \(2\cdot 6=12\)

    \(-2\cdot 6=-12\)

    \(2 \cdot (-6)=-12\)

    \(-2\cdot (-6)=12\)

Læg mærke til at \(-6\) står i parentes i de to nederste regnestykker. Det er fordi, det er forbudt at skrive ”\(\cdot -\)", altså det er forbudt at skrive et gangetegn og et minustegn lige efter hinanden.

Hvad så med \(-4-3\)? Giver det mon så også plus? Der er jo to minustegn?… svaret er NEEEEEEEEEEEEEEEEJJJJ. Vi regner \(-4-3=-7\). Så det er kun ved gange eller division, at to ens giver plus.

Øvelse 1.1.4

Beregn uden brug af computer/lommeregner:

  • a) \(-3\cdot 2\)

  • b) \(7\cdot (-2)\)

  • c) \(-3\cdot (-5)\)

  • d) \(\frac {6}{-3}\)

  • e) \(-4\cdot 2\cdot (-2)\)

  • f) \(\frac {-4}{-2}\)

  • g) \(\frac {-4}{2}-3\)

  • h) \(-2\cdot \frac {-4}{-1}\)

  • i) \(\frac {-1\cdot (-6)}{3}\cdot (-2)\)

  • j) \(\frac {-5}{0}\)

Løsning 1.1.4

  • a) \(-3\cdot 2=-6\)

  • b) \(7\cdot (-2)=-14\)

  • c) \(-3\cdot (-5)=15\)

  • d) \(\frac {6}{-3}=-2\)

  • e) \(-4\cdot 2\cdot (-2)=16\)

  • f) \(\frac {-4}{-2}=2\)

  • g) \(\frac {-4}{2}-3=-2-3=-5\)

  • h) \(-2\cdot \frac {-4}{-1}=-2\cdot 4=-8\)

  • i) \(\frac {-1\cdot (-6)}{3}\cdot (-2)=\frac {6}{3}\cdot (-2)=2\cdot (-2)=-4\)

  • j) \(\frac {-5}{0}\) kan ikke regnes. Hvorfor?

Potenser

Vi får brug for at regne med potenser. En potens er tal som f.eks. \(3^2\) (læses ”\(3\) i anden”) eller \(5^3\) (læses ”\(5\) i tredje”). Tallet \(3^2\) regnes ved at sige

\[3^2=3\cdot 3=9\quad ,\]

og \(5^3\) regnes ved

\[5^3=5\cdot 5\cdot 5=125\quad .\]

Man regner potenser før man ganger, dividerer, lægger sammen og trækker fra.

  • Eksempel 1.1.5
    Udtrykket \(3\cdot 2^3+6^1\) regnes på følgende måde:

    \begin{align*} 3\cdot 2^3+6^1 & = 3\cdot 8+6\\ & = 24+6\\ & = 30 \end{align*}

Øvelse 1.1.5

Beregn uden brug af lommeregner/computer:

  • a) \(4^2\)

  • b) \(3^3\)

  • c) \(7^1\)

  • d) \(2\cdot 5^2-5\)

Løsning 1.1.5

  • a) \(4^2=16\)

  • b) \(3^3=27\)

  • c) \(7^1=7\)

  • d) \(2\cdot 5^2-5=2\cdot 25-5=45\)

Rødder

Rødder er ”det omvendte af potenser”. I kender sikkert kvadratroden fra folkeskolen. Man bruger kvadratroden, hvis man har et tal, der er sat i anden, og gerne vil finde det oprindelige tal. F.eks. er \(\sqrt {16}=4\) fordi \(4^2=16\). Godt nok er \((-4)^2\) også \(16\), men kvadratroden er altid den positive mulighed.

Man kan ikke tage kvadratroden af et negativt tal, da noget i anden ikke kan give et negativt tal.

Øvelse 1.1.6

Regn uden at bruge lommeregner:

  • a) \(\sqrt {9}\)

  • b) \(\sqrt {4}\)

  • c) \(\sqrt {1}\)

  • d) \(\sqrt {-4}\)

  • e) \(\sqrt {0}\)

Løsning 1.1.6

  • a) \(\sqrt {9}=3\)

  • b) \(\sqrt {4}=2\)

  • c) \(\sqrt {1}=1\)

  • d) Det kan man ikke.

  • e) \(\sqrt {0}=0\)

Der findes andre rødder end kvadratrødder. Har man et tal, der er sat i tredje, og vil man gerne finde det oprindelige tal, kan man tage den tredje rod. F.eks. får vi den tredje rod af 8 til at være 2, fordi \(2\cdot 2\cdot 2=8\), og vi skriver \(\sqrt [3]{8}=2\).

Øvelse 1.1.7

Bestem følgende rødder:

  • a) \(\sqrt [2]{25}\)

  • b) \(\sqrt [3]{0}\)

  • c) \(\sqrt [3]{27}\)

  • d) \(\sqrt [4]{16}\)

  • e) \(\sqrt [100]{1}\)

  • f) \(\sqrt [1]{13}\)

Løsning 1.1.7

  • a) \(\sqrt [2]{25}=5\)

  • b) \(\sqrt [3]{0}=0\)

  • c) \(\sqrt [3]{27}=3\)

  • d) \(\sqrt [4]{16}=2\)

  • e) \(\sqrt [100]{1}=1\)

  • f) \(13\)

Det er generelt svært at regne rødder i hovedet. Det er f.eks. svært at regne \(\sqrt {5}\) uden en lommeregner.

Øvelse 1.1.8

  • a) Hvordan siger man \(\sqrt [5]{7}\)?

Løsning 1.1.8

  • a) "Den femte rod af 7". HUSK DET! Der er mange, som siger det forkert.

Parenteser

En parentes betyder, at man skal regne det, som står i parentesen før alt andet. Står der et tal foran (eller bagved) en parentes, betyder det ”gange”. Har vi f.eks. \(2(5+3)\), betyder det altså \(2\cdot (5+3)\).

  • Eksempel 1.1.6
    \(2(3+2)=2\cdot (3+2)=2\cdot 5= 10\)

Øvelse 1.1.9

Regn

  • a) \(2(3-1)\)

  • b) \((5+2)3\)

Løsning 1.1.9

  • a) \(2(3-1)=4\)

  • b) \((5+2)3=21\)

Regningsarternes hierarki

Reglerne for rækkefølge af de forskellige regneoperationer kaldes regningsarternes hierarki. Rækkefølgen ser således ud:

  • Regel 1.1.1 (Regningsarternes hierarki)
    Et regnestykke skal regnes i følgende rækkefølge:

    • 1. Parenteser.

    • 2. Potenser og rødder.

    • 3. Gange og dividere.

    • 4. Plus og minus.

  • Eksempel 1.1.7
    Udtrykket \(2+\frac {2(3+1)^2}{6+2}-7 \) regnes på følgende måde:

    \begin{align*} 2+\frac {2(3+1)^2}{6+2}-7 & = 2+\frac {2(4)^2}{6+2}-7 && \text {(Parenteser regnet)} \\ & = 2+\frac {2\cdot 16}{6+2}-7 && \text {(Potenser regnet)} \\ & =2+\frac {32}{8}-7&& \text {(Tæller og nævner regnet)} \\ & =2+4-7 && \text {(Division regnet )} \\ & =-1 && \text {(Plus og minus regnet)} \\ \end{align*}

Øvelse 1.1.10

Regn uden brug af lommeregner:

  • a) \(3^2\)

  • b) \(-3^2\)

  • c) \((-3)^2\)

  • d) \(2\cdot (5-3)^3-\sqrt {4}\)

  • e) \(\frac {(4-5)^2}{2}-1\)

Løsning 1.1.10

  • a) \(3^2=9\)

  • b) \(-3^2=-9\)

  • c) \((-3)^2=9\)

  • d) \(2\cdot (5-3)^3-\sqrt {4}=14\)

  • e) \(\frac {(4-5)^2}{2}-1=-\frac {1}{2}\)

Måske regnede du \(-3^2\) forkert? Det er måske den mest almindelige fejl på hhx. Der står IKKE tallet \(-3\) sat i anden. Der står \(3^2\) med et minus foran. Vil man skrive tallet \(-3\) i anden, skriver man \((-3)^2\). Vi tager en til øvelse med det:

Øvelse 1.1.11

Regn

  • a) \(-2^2\)

  • b) \((-2)^2\)

Løsning 1.1.11

  • a) \(-2^2=-2\cdot 2= -4\)

  • b) \((-2)^2=-2\cdot (-2)=4\)

Vi slutter af med et ekstraafsnit om brøker. Hvis matematik ikke er ens yndlingsfag, kan man godt overleve Mat-B uden at være supergod til brøkregning, men vil man have en solid forståelse (eller vil man have Mat-A), så anbefaler jeg, at man regner afsnittet samt det tilsvarende ekstraafsnit under bogstavregning.

Ekstra: brøker

I dette afsnit skal vi se på almindelig brøkregning, som burde være kendt fra folkeskolen. Her er et eksempel på en brøk.

\[\frac {3}{4}\]

Det øverste tal kaldes tælleren og det nederste kaldes nævneren. Mange glemmer, hvad der er hvad, så her er en huskeregel:

\[\frac {\text {Top}}{\text {Nederst}}=\frac {\text {Tæller}}{\text {Nævner}}\]

Forlænge og forkorte brøker

Man forlænger en brøk ved at gange med det samme tal i både tæller og nævner:

  • Eksempel 1.1.8
    Vi vil forlænge brøken \(\frac {3}{4}\) med \(5\).

    \[\frac {3}{4}=\frac {3\cdot 5}{4\cdot 5}=\frac {15}{20}\]

Man forkorter en brøk ved at dividere med det samme tal i tæller og nævner.

  • Eksempel 1.1.9
    Vi vil forkorte brøken \(\frac {2}{10}\). Vi ser at \(2\) går op i både tæller og nævner, så vi kan forkorte med \(2\). Først omskriver vi brøken, så fremgår klart, hvad vi kan forkorte med.

    \[\frac {2}{10}=\frac {1\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac {1\cdot \cancel {2}}{5 \cdot \cancel {2}}=\frac {1}{5}\]

Øvelse 1.1.12

Nu er det din tur.

  • a) Forlæng \(\frac {2}{7}\) med \(3\)

  • b) Forkort \(\frac {8}{24}\), så den ikke kan forkortes mere.

Løsning 1.1.12

  • a) \(\frac {6}{21}\)

  • b) \(\frac {1}{3}\)

Plus og minus

Skal man lægge to brøker sammen kræver det, at de har samme nævner.

  • Eksempel 1.1.10
    Vi vil regne \(\frac {1}{6}+\frac {2}{3}\). Vi ser, at hvis vi forlænger den sidste brøk med \(2\), får vi fællesnævneren \(6\):

    \begin{align*} \frac {1}{6}+\frac {2}{3} &= \frac {1}{6}+\frac {2\cdot 2}{3\cdot 2}\\[10pt] & =\frac {1}{6}+\frac {4}{6}\\[10pt] & =\frac {1+4}{6}\\[10pt] & =\frac {5}{6} \end{align*}

Man kan lægge et tal til en brøk ved at lave tallet om til en brøk:

  • Eksempel 1.1.11
    Vi vil regne \(\frac {4}{7}+2\). Da \(1=\frac {7}{7}\), må \(2=\frac {14}{7}\), så

    \[\frac {4}{7}+2=\frac {4}{7}+\frac {14}{7}=\frac {18}{7}\]

Vi har kun set eksempler med plus, men man gør det på samme måde når det er minus.

Øvelse 1.1.13

Regn

  • a) \(\frac {1}{7}+\frac {4}{7}\)

  • b) \(\frac {3}{40}+\frac {2}{4}\)

  • c) \(\frac {5}{4}-\frac {3}{5}\)

Løsning 1.1.13

  • a) \(\frac {1}{7}+\frac {4}{7}=\frac {5}{7}\)

  • b) \(\frac {3}{40}+\frac {2}{4}=\frac {23}{40}\)

  • c) \(\frac {5}{4}-\frac {3}{5}=\frac {13}{20}\)

Gange og dividere

Man ganger to brøker ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner.

  • Eksempel 1.1.12
    Vi vil regne \(\frac {1}{4}\cdot \frac {5}{3}\).

    \[\frac {1}{4}\cdot \frac {5}{3}=\frac {1\cdot 5}{4\cdot 3}=\frac {5}{12}\]

Man ganger et tal på en brøk ved at gange tallet op i tælleren.

  • Eksempel 1.1.13
    Vi vil regne \(5\cdot \frac {3}{10}\).

    \[5\cdot \frac {3}{10}=\frac {5\cdot 3}{10}=\frac {15}{10}=\frac {3}{2}\]

    Læg mærke til, at vi har forkortet brøken i sidste skridt.

    Er man god til matematik, vil man regne udtrykket lidt smartere. Fordi \(5\) går op i nævneren vil \(5\)-tallet gå ud når vi forkorter, og derfor kan man ligeså godt ”forkorte det ud” med det samme:

    \[5\cdot \frac {3}{10}=5\cdot \frac {3}{5\cdot 2}=\cancel {5}\cdot \frac {3}{\cancel {5}\cdot 2}=\frac {3}{2}\]

    Det ser måske ikke smartere ud, når det står på den måde, men der skal regnes mindre.

Man dividerer to brøker ved at ”gange med den omvendte”:

  • Eksempel 1.1.14
    Vi vil regne:

    \[\frac {\ \frac {3}{2}\ }{\frac {7}{6}}\]

    Vi bruger reglen med at ”gange med den omvendte”. Dvs. at vi bytter rundt på tæller og nævner i den nederste brøk, hvorefter vi ganger de to brøker.

    \begin{align*} \frac {\ \frac {3}{2}\ }{\frac {7}{6}} &= \frac {3}{2}\cdot \frac {6}{7}\\[10pt] &= \frac {3\cdot 6}{2\cdot 7}\\[10pt] & =\frac {18}{14}\\[10pt] & =\frac {9}{7} \end{align*}

Reglen med at gange med den omvendte gælder også, når vi dividerer et tal med en brøk

  • Eksempel 1.1.15
    Vi vil regne

    \[\frac {2}{\ \frac {4}{3}\ }\]

    Vi gør det ved at gange med den omvendte:

    \[\frac {2}{\ \frac {4}{3}\ }=2\cdot \frac {3}{4}=\frac {2\cdot 3}{4}=\frac {6}{4}=\frac {3}{2}\]

    Ligesom i eksempel 1.1.13 kan vi gøre det smartere:

    \[\frac {2}{\ \frac {4}{3}\ }=2\cdot \frac {3}{4}=2\cdot \frac {3}{2\cdot 2}=\cancel {2}\cdot \frac {3}{\cancel {2}\cdot 2}=\frac {3}{2}\]

Man dividerer en brøk med et tal ved at gange tallet ind i nævneren.

  • Eksempel 1.1.16
    Vi vil regne:

    \[\frac {\ \frac {8}{5}\ }{2}\]

    Her skal vi altså bare gange nævneren i den øvre brøk med \(2\).

    \[\frac {\ \frac {8}{5}\ }{2}=\frac {8}{5\cdot 2}=\frac {4\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac {4\cdot \cancel {2}}{5\cdot \cancel {2}}=\frac {4}{5}\]

Øvelse 1.1.14

Regn

  • a) \(\frac {4}{3}\cdot \frac {2}{5}\)

  • b) \(\frac {6}{5}\cdot 2\)

  • c) \(\frac {\ \frac {3}{5}\ }{3}\)

  • d) \(\frac {5}{\ \frac {2}{3}\ }\cdot 4\)

  • e) \(\frac {\ \frac {1}{3}\ }{\frac {5}{3}}\)

Løsning 1.1.14

  • a) \(\frac {4}{3}\cdot \frac {2}{5}=\frac {8}{15}\)

  • b) \(\frac {6}{5}\cdot 2=\frac {12}{5}\)

  • c) \(\frac {\ \frac {3}{5}\ }{3}=\frac {1}{5}\)

  • d) \(\frac {5}{\ \frac {2}{3}\ }\cdot 4=30\)

  • e) \(\frac {\ \frac {1}{3}\ }{\frac {5}{3}}=\frac {1}{5}\)

I stedet for at gå og huske alle brøkregnereglerne, kan man prøve at forstå dem, så man næste gang kan tænke sig frem til dem.

  • Eksempel 1.1.17
    Hvis man ganger et tal med en brøk, skal man gange ind i tælleren. Det kan man godt forklare. Lad os sige, at vi har en pizza som er delt i \(8\) stykker. Lad os sige, at du spiser \(2\) stykker. Så har du spist \(\frac {2}{8}\) af pizzaen. Hvis din ven spiser det dobbelte af dig, så spiser hun \(4\) stykker. Dvs. \(\frac {4}{8}\) af pizzaen. Så

    \[2\cdot \frac {2}{8}=\frac {2\cdot 2}{8}=\frac {4}{8}\]

Den næste øvelse er markeret som ”Svær”. Det er tilladt at springe svære øvelser over.

Øvelse 1.1.15 (Svær)

I denne øvelse skal du overveje resten af brøkregnereglerne.

  • a) Læs ovenstående eksempel og se, om du kan argumentere tilsvarende for de andre regneregler. Du behøver ikke at skrive dine argumenter ned. Det er fint, hvis du bare har det i hovedet.

Løsning 1.1.15

  • a) Spørg mig, hvis du er i tvivl.