BMATHHX B
4.7 Beviser til polynomier
Nulpunktssætningen for andengradspolynomier (B-niveau version)
-
Forudsætninger
Dette afsnit kræver kendskab til kvadratsætningen\[(a+b)^2=a^2+b^2+2ab\]
Hvis du synes den ser mærkelig ud, så læs afsnit 1.6
Vi vil bevise nulpunktsformlen for andengradspolynomier. Til det bevis har vi brug for følgende regel:
\[(a+b)^2=a^2+b^2+2ab\]
Reglen kaldes også en kvadratsætning. Der er tre kvadratsætning er reglen er altså en af dem.
-
Sætning 4.3.2 (Nulpunktsformler)
For et andengradspolynomium \(f(x)=ax^2+bx+c\) med diskriminant \(d\) gælder:- Hvis \(d<0\),
-
så er der ingen nulpunkter.
- Hvis \(d=0\),
-
så er der et nulpunkt og det er bestemt ved
\[x=\frac {-b}{2a}\]
- Hvis \(d>0\),
-
så er der to nulpunkter \(x_1\) og \(x_2\) og de er bestemt ved
\[x_1=\frac {-b-\sqrt {d}}{2a}\quad \textrm { og }\quad x_2=\frac {-b+\sqrt {d}}{2a}\]
-
Bevis
Et nulpunkt er en \(x\)-værdi hvor \(f(x)=0\). Vi gerne bestemme nulpunkterne for \(f\), så vi skal løse ligningen:\[f(x)=0\]
Vi indsætter forskriften for \(f\):
\[ax^2+bx+c=0.\]
Vi ganger ligningen med \(4a\) på begge sider og får:
\[4aax^2+4abx+4ac=0.\]
Da \(4aax^2=(2ax)^2\) (tjek det) og \(4abx=2b(2ax)\) (tjek det) kan vi omskrive ligningen til:
\[(2ax)^2+2b(2ax)+4ac=0.\]
Vi sætter nu \(F=2ax\) og får så:
\[F^2+2bF+4ac=0.\]
Vi trækker nu \(4ac\) fra på begge sider og lægger \(b^2\) til på begge sider så vi får
\[F^2+2bF+b^2=b^2-4ac.\]
Vi genkender udtrykket for diskriminanten på højresiden.
\[F^2+2bF+b^2=d\]
Venstresiden kan vha. kvadratsætningen omskrives til \((F+b)^2\), så vi får:
\[(F+b)^2=d.\]
Hvis \(d<0\) har ligningen ingen løsninger, da noget i anden ikke kan være negativt. Dermed har vi vist første del af sætningen.
Hvis \(d\geq 0\) så er:
\[F+b=\pm \sqrt {d}\]
Vi trækker \(b\) fra på begge sider:
\[F=-b\pm \sqrt {d}.\]
Hmm hvad var det nu \(F\) var? Nåh ja det var jo \(2ax\). Det kan vi sætte ind i stedet for \(F\):
\[2ax=-b\pm \sqrt {d}.\]
Til slut dividerer vi med \(2a\) på begge sider af lighedstegnet:
\[x=\frac {-b\pm \sqrt {d}}{2a},\]
og vi er næsten færdige. Ligningen passer allerede med 3. del af sætningen så vi skal bare tjekke, hvad der sker hvis \(d=0\):
\[x=\frac {-b\pm \sqrt {0}}{2a}=\frac {-b}{2a},\]
hvilket også var påstanden i sætningen.
Nulpunktssætningen for andengradspolynomier (A-niveau version)
Dette bevis kræver kendskab til kvadratkomplettering.
-
Sætning 4.3.2 (Nulpunktsformler)
For et andengradspolynomium \(f(x)=ax^2+bx+c\) med diskriminant \(d\) gælder:- Hvis \(d<0\),
-
så er der ingen nulpunkter.
- Hvis \(d=0\),
-
så er der et nulpunkt og det er bestemt ved
\[x=\frac {-b}{2a}\]
- Hvis \(d>0\),
-
så er der to nulpunkter \(x_1\) og \(x_2\) og de er bestemt ved
\[x_1=\frac {-b-\sqrt {d}}{2a}\quad \textrm { og }\quad x_2=\frac {-b+\sqrt {d}}{2a}\]
-
Bevis
Et nulpunkt er en \(x\)-værdi hvor \(f(x)=0\). Vi gerne bestemme nulpunkterne for \(f\), så vi skal løse ligningen:\[f(x)=0\]
Vi indsætter forskriften for \(f\):
\[ax^2+bx+c=0.\]
Vi vil gerne kvadratkomplettere, så vi faktoriserer de to første led med \(a\):
\[a\left (x^2+\frac {b}{a}x\right )+c=0.\]
Vi kvadratkompletterer:
\[a\left (\left (x+\frac {b}{2a}\right )^2-\left (\frac {b}{2a}\right )^2\right )+c=0.\]
Vi trækker \(c\) fra på begge sider og deler med \(a\):
\[\left (x+\frac {b}{2a}\right )^2-\left (\frac {b}{2a}\right )^2=-\frac {c}{a}.\]
Vi regner brøken \(\left (\frac {b}{2a}\right )^2\) og lægger den til på begge sider.
\[\left (x+\frac {b}{2a}\right )^2=\frac {b^2}{4a^2}-\frac {c}{a}.\]
Vi forlænger brøken \(\frac {c}{a}\) med \(4a\):
\[\left (x+\frac {b}{2a}\right )^2=\frac {b^2}{4a^2}-\frac {4ac}{4a^2},\]
og sætter på fælles brøkstreg:
\[\left (x+\frac {b}{2a}\right )^2=\frac {b^2-4ac}{4a^2},\]
Vi genkender diskriminanten i tælleren:
\[\left (x+\frac {b}{2a}\right )^2=\frac {d}{4a^2},\]
Nævneren i brøken på højresiden er altid positiv (hvorfor?), og derfor vil brøkens fortegn være bestemt af tælleren \(d\).
Hvis \(d<0\) har ligningen ingen løsninger, da noget i anden ikke kan være negativt. Dermed har vi vist første del af sætningen.
Hvis \(d\geq 0\) så er:
\[x+\frac {b}{2a}=\pm \sqrt {\frac {d}{4a^2}}\]
Vi bruger reglen \(\sqrt {\frac {a}{b}}=\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}\) på højresiden trækker \(\frac {b}{2a}\) fra på begge sider:
\[x=\pm \frac {\sqrt {d}}{2a}-\frac {b}{2a}.\]
Vi sætter på fælles brøkstreg
\[x=\frac {\pm \sqrt {d}-b}{2a},\]
og bytter rundt på rækkefølgen:
\[x=\frac {-b\pm \sqrt {d}}{2a}.\]
Så, hvis \(d>0\) har vi altså to nulpunkter:
\[x_1=\frac {-b-\sqrt {d}}{2a}\quad \textrm { og }\quad x_2=\frac {-b+\sqrt {d}}{2a}.\]
Hvis \(d=0\) har vi:
\[x=\frac {-b\pm \sqrt {0}}{2a}=\frac {-b}{2a},\]
hvilket betyder at \(f\) har et enkelt nulpunkt nemlig \(x=\frac {-b}{2a}\).