MATHHX B

MATHHX B

\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\) \(\def \LWRfootnote {1}\) \(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\let \LWRorighspace \hspace \) \(\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }\) \(\newcommand {\TextOrMath }[2]{#2}\) \(\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}\) \(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\) \(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \) \(\newcommand {\setlength }[2]{}\) \(\newcommand {\addtolength }[2]{}\) \(\newcommand {\setcounter }[2]{}\) \(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\) \(\newcommand {\arabic }[1]{}\) \(\newcommand {\number }[1]{}\) \(\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\newcommand {\cline }[1]{}\) \(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\protect }{}\) \(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\) \(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\) \(\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}\) \(\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }\) \(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\) \(\def \mathcode #1={\mathchar }\) \(\let \delcode \mathcode \) \(\let \delimiter \mathchar \) \(\def \oe {\unicode {x0153}}\) \(\def \OE {\unicode {x0152}}\) \(\def \ae {\unicode {x00E6}}\) \(\def \AE {\unicode {x00C6}}\) \(\def \aa {\unicode {x00E5}}\) \(\def \AA {\unicode {x00C5}}\) \(\def \o {\unicode {x00F8}}\) \(\def \O {\unicode {x00D8}}\) \(\def \l {\unicode {x0142}}\) \(\def \L {\unicode {x0141}}\) \(\def \ss {\unicode {x00DF}}\) \(\def \SS {\unicode {x1E9E}}\) \(\def \dag {\unicode {x2020}}\) \(\def \ddag {\unicode {x2021}}\) \(\def \P {\unicode {x00B6}}\) \(\def \copyright {\unicode {x00A9}}\) \(\def \pounds {\unicode {x00A3}}\) \(\let \LWRref \ref \) \(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\) \( \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}\) \(\require {textcomp}\) \(\require {colortbl}\) \(\let \LWRorigcolumncolor \columncolor \) \(\renewcommand {\columncolor }[2][named]{\LWRorigcolumncolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigrowcolor \rowcolor \) \(\renewcommand {\rowcolor }[2][named]{\LWRorigrowcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigcellcolor \cellcolor \) \(\renewcommand {\cellcolor }[2][named]{\LWRorigcellcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\newcommand {\tothe }[1]{^{#1}}\) \(\newcommand {\raiseto }[2]{{#2}^{#1}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxEND }{}\) \(\def \LWRsiunitxang #1;#2;#3;#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#1}{}{\num {#1}\degree }\ifblank {#2}{}{\num {#2}^{\unicode {x2032}}}\ifblank {#3}{}{\num {#3}^{\unicode {x2033}}}}\) \(\newcommand {\ang }[2][]{\LWRsiunitxang #2;;;\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxdistribunit {}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxENDTWO }{}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,#2,#3\LWRsiunitxENDTWO {\ifblank {#1}{0}{\mathrm {#1}}\ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\mathrm {#2}}}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsub #1.#2.#3\LWRsiunitxEND {\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,,\LWRsiunitxENDTWO \ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #2,,\LWRsiunitxENDTWO }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxprintdecimal }[1]{\LWRsiunitxprintdecimalsub #1...\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxnumplus #1+#2+#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}{\ifblank {#1}{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x02B}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumminus #1-#2-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumplus #1+++\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#1}{}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}\unicode {x02212}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm #2\pm #3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumminus #1---\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpm #1+-#2+-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm \pm \pm \LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxnumscientific }[2]{\ifblank {#1}{}{\ifstrequal {#1}{-}{-}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\times }}10^{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumD #1D#2D#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpm #1+-+-\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumd #1d#2d#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumD #1DDD\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumE #1E#2E#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumd #1ddd\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnume #1e#2e#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumE #1EEE\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumx #1x#2x#3x#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#3}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #3eee\LWRsiunitxEND }}}\) \(\newcommand {\num }[2][]{\LWRsiunitxnumx #2xxxxx\LWRsiunitxEND }\) \(\newcommand {\si }[2][]{\mathrm {\gsubstitute {#2}{~}{\,}}}\) \(\def \LWRsiunitxSIopt #1[#2]#3{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#3}}{#2}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxSI }[2]{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#2}}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\SI }[2][]{\ifnextchar [{\LWRsiunitxSIopt {#2}}{\LWRsiunitxSI {#2}}}\) \(\newcommand {\numlist }[2][]{\text {#2}}\) \(\newcommand {\numrange }[3][]{\num {#2}\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}}\) \(\newcommand {\SIlist }[3][]{\text {#2}\,\si {#3}}\) \(\newcommand {\SIrange }[4][]{\num {#2}\,#4\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}\,#4}\) \(\newcommand {\tablenum }[2][]{\mathrm {#2}}\) \(\newcommand {\ampere }{\mathrm {A}}\) \(\newcommand {\candela }{\mathrm {cd}}\) \(\newcommand {\kelvin }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\kilogram }{\mathrm {kg}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\mole }{\mathrm {mol}}\) \(\newcommand {\second }{\mathrm {s}}\) \(\newcommand {\becquerel }{\mathrm {Bq}}\) \(\newcommand {\degreeCelsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\coulomb }{\mathrm {C}}\) \(\newcommand {\farad }{\mathrm {F}}\) \(\newcommand {\gray }{\mathrm {Gy}}\) \(\newcommand {\hertz }{\mathrm {Hz}}\) \(\newcommand {\henry }{\mathrm {H}}\) \(\newcommand {\joule }{\mathrm {J}}\) \(\newcommand {\katal }{\mathrm {kat}}\) \(\newcommand {\lumen }{\mathrm {lm}}\) \(\newcommand {\lux }{\mathrm {lx}}\) \(\newcommand {\newton }{\mathrm {N}}\) \(\newcommand {\ohm }{\mathrm {\Omega }}\) \(\newcommand {\pascal }{\mathrm {Pa}}\) \(\newcommand {\radian }{\mathrm {rad}}\) \(\newcommand {\siemens }{\mathrm {S}}\) \(\newcommand {\sievert }{\mathrm {Sv}}\) \(\newcommand {\steradian }{\mathrm {sr}}\) \(\newcommand {\tesla }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\volt }{\mathrm {V}}\) \(\newcommand {\watt }{\mathrm {W}}\) \(\newcommand {\weber }{\mathrm {Wb}}\) \(\newcommand {\day }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\degree }{\mathrm {^\circ }}\) \(\newcommand {\hectare }{\mathrm {ha}}\) \(\newcommand {\hour }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\litre }{\mathrm {l}}\) \(\newcommand {\liter }{\mathrm {L}}\) \(\newcommand {\arcminute }{^\prime }\) \(\newcommand {\minute }{\mathrm {min}}\) \(\newcommand {\arcsecond }{^{\prime \prime }}\) \(\newcommand {\tonne }{\mathrm {t}}\) \(\newcommand {\astronomicalunit }{au}\) \(\newcommand {\atomicmassunit }{u}\) \(\newcommand {\bohr }{\mathit {a}_0}\) \(\newcommand {\clight }{\mathit {c}_0}\) \(\newcommand {\dalton }{\mathrm {D}_\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\electronmass }{\mathit {m}_{\mathrm {e}}}\) \(\newcommand {\electronvolt }{\mathrm {eV}}\) \(\newcommand {\elementarycharge }{\mathit {e}}\) \(\newcommand {\hartree }{\mathit {E}_{\mathrm {h}}}\) \(\newcommand {\planckbar }{\mathit {\unicode {x210F}}}\) \(\newcommand {\angstrom }{\mathrm {\unicode {x212B}}}\) \(\let \LWRorigbar \bar \) \(\newcommand {\barn }{\mathrm {b}}\) \(\newcommand {\bel }{\mathrm {B}}\) \(\newcommand {\decibel }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\knot }{\mathrm {kn}}\) \(\newcommand {\mmHg }{\mathrm {mmHg}}\) \(\newcommand {\nauticalmile }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\neper }{\mathrm {Np}}\) \(\newcommand {\yocto }{\mathrm {y}}\) \(\newcommand {\zepto }{\mathrm {z}}\) \(\newcommand {\atto }{\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\femto }{\mathrm {f}}\) \(\newcommand {\pico }{\mathrm {p}}\) \(\newcommand {\nano }{\mathrm {n}}\) \(\newcommand {\micro }{\mathrm {\unicode {x00B5}}}\) \(\newcommand {\milli }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\centi }{\mathrm {c}}\) \(\newcommand {\deci }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\deca }{\mathrm {da}}\) \(\newcommand {\hecto }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\kilo }{\mathrm {k}}\) \(\newcommand {\mega }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\giga }{\mathrm {G}}\) \(\newcommand {\tera }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\peta }{\mathrm {P}}\) \(\newcommand {\exa }{\mathrm {E}}\) \(\newcommand {\zetta }{\mathrm {Z}}\) \(\newcommand {\yotta }{\mathrm {Y}}\) \(\newcommand {\percent }{\mathrm {\%}}\) \(\newcommand {\meter }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\gram }{\mathrm {g}}\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\of }[1]{_{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\squared }{^2}\) \(\newcommand {\square }[1]{\mathrm {#1}^2}\) \(\newcommand {\cubed }{^3}\) \(\newcommand {\cubic }[1]{\mathrm {#1}^3}\) \(\newcommand {\per }{\,\mathrm {/}}\) \(\newcommand {\celsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\fg }{\femto \gram }\) \(\newcommand {\pg }{\pico \gram }\) \(\newcommand {\ng }{\nano \gram }\) \(\newcommand {\ug }{\micro \gram }\) \(\newcommand {\mg }{\milli \gram }\) \(\newcommand {\g }{\gram }\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\amu }{\mathrm {u}}\) \(\newcommand {\nm }{\nano \metre }\) \(\newcommand {\um }{\micro \metre }\) \(\newcommand {\mm }{\milli \metre }\) \(\newcommand {\cm }{\centi \metre }\) \(\newcommand {\dm }{\deci \metre }\) \(\newcommand {\m }{\metre }\) \(\newcommand {\km }{\kilo \metre }\) \(\newcommand {\as }{\atto \second }\) \(\newcommand {\fs }{\femto \second }\) \(\newcommand {\ps }{\pico \second }\) \(\newcommand {\ns }{\nano \second }\) \(\newcommand {\us }{\micro \second }\) \(\newcommand {\ms }{\milli \second }\) \(\newcommand {\s }{\second }\) \(\newcommand {\fmol }{\femto \mol }\) \(\newcommand {\pmol }{\pico \mol }\) \(\newcommand {\nmol }{\nano \mol }\) \(\newcommand {\umol }{\micro \mol }\) \(\newcommand {\mmol }{\milli \mol }\) \(\newcommand {\mol }{\mol }\) \(\newcommand {\kmol }{\kilo \mol }\) \(\newcommand {\pA }{\pico \ampere }\) \(\newcommand {\nA }{\nano \ampere }\) \(\newcommand {\uA }{\micro \ampere }\) \(\newcommand {\mA }{\milli \ampere }\) \(\newcommand {\A }{\ampere }\) \(\newcommand {\kA }{\kilo \ampere }\) \(\newcommand {\ul }{\micro \litre }\) \(\newcommand {\ml }{\milli \litre }\) \(\newcommand {\l }{\litre }\) \(\newcommand {\hl }{\hecto \litre }\) \(\newcommand {\uL }{\micro \liter }\) \(\newcommand {\mL }{\milli \liter }\) \(\newcommand {\L }{\liter }\) \(\newcommand {\hL }{\hecto \liter }\) \(\newcommand {\mHz }{\milli \hertz }\) \(\newcommand {\Hz }{\hertz }\) \(\newcommand {\kHz }{\kilo \hertz }\) \(\newcommand {\MHz }{\mega \hertz }\) \(\newcommand {\GHz }{\giga \hertz }\) \(\newcommand {\THz }{\tera \hertz }\) \(\newcommand {\mN }{\milli \newton }\) \(\newcommand {\N }{\newton }\) \(\newcommand {\kN }{\kilo \newton }\) \(\newcommand {\MN }{\mega \newton }\) \(\newcommand {\Pa }{\pascal }\) \(\newcommand {\kPa }{\kilo \pascal }\) \(\newcommand {\MPa }{\mega \pascal }\) \(\newcommand {\GPa }{\giga \pascal }\) \(\newcommand {\mohm }{\milli \ohm }\) \(\newcommand {\kohm }{\kilo \ohm }\) \(\newcommand {\Mohm }{\mega \ohm }\) \(\newcommand {\pV }{\pico \volt }\) \(\newcommand {\nV }{\nano \volt }\) \(\newcommand {\uV }{\micro \volt }\) \(\newcommand {\mV }{\milli \volt }\) \(\newcommand {\V }{\volt }\) \(\newcommand {\kV }{\kilo \volt }\) \(\newcommand {\W }{\watt }\) \(\newcommand {\uW }{\micro \watt }\) \(\newcommand {\mW }{\milli \watt }\) \(\newcommand {\kW }{\kilo \watt }\) \(\newcommand {\MW }{\mega \watt }\) \(\newcommand {\GW }{\giga \watt }\) \(\newcommand {\J }{\joule }\) \(\newcommand {\uJ }{\micro \joule }\) \(\newcommand {\mJ }{\milli \joule }\) \(\newcommand {\kJ }{\kilo \joule }\) \(\newcommand {\eV }{\electronvolt }\) \(\newcommand {\meV }{\milli \electronvolt }\) \(\newcommand {\keV }{\kilo \electronvolt }\) \(\newcommand {\MeV }{\mega \electronvolt }\) \(\newcommand {\GeV }{\giga \electronvolt }\) \(\newcommand {\TeV }{\tera \electronvolt }\) \(\newcommand {\kWh }{\kilo \watt \hour }\) \(\newcommand {\F }{\farad }\) \(\newcommand {\fF }{\femto \farad }\) \(\newcommand {\pF }{\pico \farad }\) \(\newcommand {\K }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\dB }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\kibi }{\mathrm {Ki}}\) \(\newcommand {\mebi }{\mathrm {Mi}}\) \(\newcommand {\gibi }{\mathrm {Gi}}\) \(\newcommand {\tebi }{\mathrm {Ti}}\) \(\newcommand {\pebi }{\mathrm {Pi}}\) \(\newcommand {\exbi }{\mathrm {Ei}}\) \(\newcommand {\zebi }{\mathrm {Zi}}\) \(\newcommand {\yobi }{\mathrm {Yi}}\) \(\let \unit \si \) \(\let \qty \SI \) \(\let \qtylist \SIlist \) \(\let \qtyrange \SIrange \) \(\let \numproduct \num \) \(\let \qtyproduct \SI \) \(\let \complexnum \num \) \(\newcommand {\complexqty }[3][]{(\complexnum {#2})\si {#3}}\) \(\newcommand {\mleft }{\left }\) \(\newcommand {\mright }{\right }\) \(\newcommand {\mleftright }{}\) \(\newcommand {\mleftrightrestore }{}\) \(\require {gensymb}\) \(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\let \Hat \hat \) \(\let \Check \check \) \(\let \Tilde \tilde \) \(\let \Acute \acute \) \(\let \Grave \grave \) \(\let \Dot \dot \) \(\let \Ddot \ddot \) \(\let \Breve \breve \) \(\let \Bar \bar \) \(\let \Vec \vec \) \(\require {cancel}\) \(\newcommand {\Dom }{\operatorname {Dom}}\) \(\newcommand {\Ran }{\operatorname {Ran}}\) \(\newcommand {\Dm }{\operatorname {Dm}}\) \(\newcommand {\Vm }{\operatorname {Vm}}\) \(\newcommand {\Var }{\operatorname {Var}}\) \(\newcommand {\SD }{\operatorname {SD}}\) \(\newcommand {\ExV }{\operatorname {E}}\) \(\newcommand {\opointtext }{\textcolor {blue}{\circ }}\) \(\newcommand {\cpointtext }{\textcolor {blue}{\bullet }}\) \(\newcommand {\vectwo }[2]{\begin {pmatrix} #1 \\ #2 \end {pmatrix}}\) \(\newcommand {\tcbset }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbsetforeverylayer }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbox }[2][]{\boxed {\text {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxfit }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcblower }{}\) \(\newcommand {\tcbline }{}\) \(\newcommand {\tcbtitle }{}\) \(\newcommand {\tcbsubtitle [2][]{\mathrm {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcbhighmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }\) \(\let \midrule \toprule \) \(\let \bottomrule \toprule \) \(\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}\) \(\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}\) \(\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }\) \(\newcommand {\morecmidrules }{}\) \(\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }\) \(\newcommand {\addlinespace }[1][]{}\) \(\def \LWRsiunitxrangephrase {\TextOrMath { }{\ }\protect \mbox {to (numerical range)}\TextOrMath { }{\ }}\) \(\def \LWRsiunitxdecimal {.}\)

12.1 Kombinatorik

Dette kapitel er for elever på 2024-ordningen. Dvs. elever startet i 2024 eller senere. Er du på den gamle ordning skal du i stedet læse dette kapitel.

Kombinatorik handler om, hvor mange forskellige måder noget kan gøres på.

Valgprocesser

En valgproces består af en række uafhængige valg. Lad os se på et eksempel:

  • Eksempel 12.1.1
    Lad os sige, at du skal sammensætte en menu med tre retter. Lad os sige, at du kan vælge imellem:

    • 3 forretter

    • 4 hovedretter

    • 2 desserter

    Lad os tælle hvor mange forskellige menuer, du kan lave. Vi starter med forretten, hvor der er \(3\) muligheder. Hver af disse 3 muligheder kan kombineres med 4 hovedretter, så antallet af mulige kombinationer af forret og hovedret er:

    \[3\cdot 4=12\]

    Hver af de \(12\) muligheder kan kombineres med \(2\) desserter, hvilket giver et samlet antal muligheder på:

    \[12\cdot 2= 24\]

    Der altså \(24\) mulige menuer i alt.

Så i en valgproces ganger man antallet af muligheder (i det enkelte valg) sammen for at få det samlede antal muligheder.

Øvelse 12.1.1

Vi leger, at du har:

  • 3 par bukser

  • 2 skjorter

  • 4 slips

  • 2 par fine sko

Antag, at du skal sammensætte et outfit bestående af 1 par bukser, en skjorte, et slips og et par fine sko.

  • a) Hvor mange outfits kan du lave?

Løsning 12.1.1

  • a) \(48\) outfits.

Permutationer

En permutation er en opstilling af nogle objekter i en bestemt rækkefølge. Det kunne f.eks. være elever i en kø til kantinen. Vil man regne antallet af permutationer (antallet af måder man kan opstille køen), får man brug for noget som hedder fakultet:

  • Definition 12.1.1
    For et et positivt helt tal \(n\) defineres n-fakultet, skrevet \(n!\), ved:

    \[n!=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\]

    Derudover defineres:

    \[0!=1\]

  • Eksempel 12.1.2
    Vi udregner \(4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24\).

Øvelse 12.1.2

Bestem ved hovedregning

  • a) \(5!\)

  • b) \(0!\)

  • c) \(1!\)

Løsning 12.1.2

  • a) \(5!=120\)

  • b) \(0!=1\)

  • c) \(1!=1\)

Vi bruger n-fakultet til at bestemme antallet af mulige permutationer af \(n\) objekter, dvs., hvor mange forskellige rækkefølger vi kan lave med de \(n\) objekter.

  • Eksempel 12.1.3
    Vi vil bestemme antallet af måder, man kan stille 20 elever i en kø til kantinen. På den første plads er der 20 muligheder For hver at de 20 muligheder er der 19 muligheder for den efterfølgende elev, dvs. \(20\cdot 19\) i alt. For hver af de \(20\cdot 19\) muligheder er der nu 18 muligheder for den næste, dvs. \(20\cdot 19\cdot 18\) i alt osv.

    I sidste ende får vi altså antallet af muligheder til at blive:

    \[20\cdot 19\cdot 18\cdot 17\cdots 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=20!\]

    Der altså \(20!\) permutationer. Taster vi \(\verb |20!|\) ind i GeoGebra får vi:

    \[2.432.902.008.176.640.000\]

    Man kan altså opstille 20 elever i kø på overraskende mange måder (prøv liiige at se, hvor stort det tal er!!!!).

Øvelse 12.1.3

Hvad nu hvis vi kun har 10 elever? Så kan vi sikkert ikke lave så mange forskellige køer.

  • a) Bestem antallet af måder, man kan opstille 10 i elever i en kø til kantinen.

Løsning 12.1.3

  • a) Der er \(10!=3.628.800\) måder at lave køen på. Det er stadig en hel del, må man sige.

Kombinationer

Vi skal nu se på et lidt mere kompliceret kombinatorisk problem. Forstil dig, at der kun er 2 billetter tilbage til en skolefest, og at der er 5 elever, som gerne vil med. På hvor mange måder, kan billetterne fordeles? En mulighed kunne være:

.
Navn Wan Dennis Jeffrey Daniel Jellow
Får billet \(\times \) \(\times \)

Her får altså Jeffrey og Jellow en billet. Men vi kunne have fordelt de to billetter på mange måde, og vi skal nu se, hvordan man finder antallet af måder, vi kan fordele billetterne.

  • Sætning 12.1.1
    Antallet af måder man kan sætte \(r\) krydser på \(n\) pladser betegnes \(K(n,r)\) og er bestemt ved:

    \[K(n,r)=\frac {n!}{r!(n-r)!}\]

Tallet \(K(n,r)\) kaldes også en binomialkoefficient.

  • Eksempel 12.1.4
    Ved hjælp af sætning 12.1.1 kan vi bestemme antallet af måder, vi kan fordele billetterne til skolefesten. Vi har \(2\) krydser så \(r=2\) og vi har \(5\) pladser så \(n=5\). Vi regner:

    \begin{align*} K(n,r) & =\frac {n!}{r!(n-r)!}\\[10pt] & =\frac {5!}{2!(5-2)!}\\[10pt] & =\frac {5!}{2!\cdot 3!}\\[10pt] & =\frac {5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\\[10pt] & =\frac {120}{12}\\[10pt] & = 10 \end{align*} Altså er der \(10\) måder billetterne kan fordeles på.

Da formlen for binomialkoefficienten indeholder fakulteter, kan det blive nødvendigt at bruge en lommeregner/computer til at regne den. Men som følgende eksempel viser, kan vi nogle gange regne større binomialkoefficienter uden lommeregner.

  • Eksempel 12.1.5
    Vi vil regne \(K(8,6)\) uden lommeregner:

    \begin{align*} K(n,r) = & \frac {n!}{r!(n-r)!}\\[10pt] = & \frac {8!}{6!(8-6)!}\\[10pt] = & \frac {8!}{6!\cdot 2!}\\[10pt] = & \frac {8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 2\cdot 1}\\[10pt] = & \frac {8\cdot 7\cdot \textcolor {red}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\textcolor {red}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\cdot 2\cdot 1} && \text {(Brøken forkortet med } 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 )\\[10pt] = & \frac {8\cdot 7}{2\cdot 1} && \text {(Brøken er blevet forkortet)}\\[10pt] = & \frac {56}{2}\\[5pt] = & 28 \end{align*}

Øvelse 12.1.4

Regn, ved hjælp metoden fra ovenstående eksempel, følgende binomialkoefficienter uden lommeregner/computer.

  • a) \(K(7,5)\)

  • b) \(K(20,19)\)

  • c) \(K(9,2)\)

Løsning 12.1.4

  • a) \(K(7,5)=21\)

  • b) \(K(20,19)=20\)

  • c) \(K(9,2)=36\)

Øvelse 12.1.5

Antag, at du har 3 billetter og 6 personer, som gerne vil have en billet.

  • a) Bestem uden lommeregner/computer, hvor mange måder, du kan udvælge de 3 personer, som skal have en billet?

Løsning 12.1.5

  • a) Der er 20 muligheder.

Øvelse 12.1.6 (Svær)

En elev fra Niels Brock skal holde fødselsdagsfest for klassen.

Eleven har 8 store kasser med slik. I hver kasse er der netop en type slik, og der er ikke to kasser med samme type.

Eleven vil gerne lave slikposer med 4 forskellige stykker slik i hver, og der må ikke være to ens poser. Der skal være en pose til hver elev.

  • a) Kan det lade sig gøre? ... og ja du kan godt svare på spørgsmålet, uden at jeg fortæller dig præcis hvor mange elever, der er i klassen.

Løsning 12.1.6

  • a) JA!

Ekstra

Permutationer og kombinationer er mere formelt defineret ud fra mængder:

  • Definition 12.1.2
    Lad \(M\) være en mængde med \(n\) elementer.

    En \(r\)-kombination er en delmængde af \(M\) bestående af \(r\) elementer. Antallet af \(r\)-kombinationer fra \(M\) betegnes \(K(n,r)\).

    En \(r\)-permutation består af \(r\) (forskellige) elementer fra \(M\) opstillet i en bestemt rækkefølge. Antallet af \(r\)-permutationer fra \(M\) betegnes \(P(n,r)\).

    Er \(r=n\) kaldes \(r\)-permutationen blot for en permutation.

Tallet \(K(n,r)\) er altså antallet af måder, man kan udtage en delmængde, bestående af \(r\) elementer, ud af en mængde med \(n\) elementer. Når man finder \(P(n,r)\), skal man også udtage en delmængde på \(r\) elementer ud af en mængde med \(n\) elementer, men denne gang skal man også stille dem i rækkefølge. Så \(P(n,r)\) er typisk større end \(K(n,r)\), da der er flere forskellige rækkefølger knyttet til hver kombination.

  • Eksempel 12.1.6
    Betragt mængden \(M=\{A,B,C,D,E\}\).

    En \(3\)-kombination er en delmængde med \(3\) elementer. Den kunne se således ud:

    \[\{A,B,D\}\]

    Det er den eneste \(3\)-kombination, som består af \(A\), \(B\) og \(D\).

    En \(3\)-permutation kunne se således ud

    \[(A,B,D)\]

    Læg mærke til, at vi nu har almindelige parenteser. Det betyder, at elementer står i rækkefølge. En anden \(3\)-permutation kunne se således ud

    \[(B,A,D)\]

    Så vi kan altså lave flere forskellige permutationer, der består af \(A\), \(B\) og \(D\), da rækkefølgen tæller med.

  • Sætning 12.1.2
    Tallet \(P(n,r)\) er bestemt ved formlen:

    \[P(n,r)=\frac {n!}{(n-r)!}\]

Øvelse 12.1.7

Antag, at du skal udvælge 3 elever fra en klasse på 20 og stille dem i kø til kantinen.

  • a) Brug sætning 12.1.2 til at bestemme antallet af måder, man kan opstille køen.

Løsning 12.1.7

  • a) \(6840\)

Øvelse 12.1.8 (Svær)

Antag, at vi har en mængde \(M\) med \(n\) elementer.

  • a) Gør rede for, at den nye definition af begrebet permutation er i overensstemmelse med den gamle fra tidligere i afsnittet.

  • b) Vi har tidligere lært at antallet af permutationer er givet ved \(n!\). Tjek at formlen fra sætning 12.1.2 giver samme resultat.

Løsning 12.1.8

  • a) Ifølge den gamle definition var en permutation en opstilling af elementerne fra \(M\) i rækkefølge.

    Ifølge den nye definition er en permutation en \(r\)-permutation, hvor \(r=n\). Vi skal altså udvælge \(n\) elementer fra \(M\) og opstille dem i rækkefølge. Da der kun er \(n\) elementer i \(M\) i alt, svarer det til stille alle elementerne fra \(M\) op i en rækkefølge. Dermed er de to definitioner af ”permutation” ens.

  • b) En permutation er \(r\)-permutation, hvor \(r=n\), så

    \begin{align*} P(n,r)= & \frac {n!}{(n-r)!}\\[10pt] = & \frac {n!}{(n-n)!} && (\text {Da } r=n)\\[10pt] = & \frac {n!}{0!}\\[10pt] = & \frac {n!}{1}\\[10pt] = & n! \end{align*} Så antallet er permutationer er altså \(n!\).