MATHHX B
\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\)
\(\def \LWRfootnote {1}\)
\(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\let \LWRorighspace \hspace \)
\(\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }\)
\(\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}\)
\(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\)
\(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \)
\(\newcommand {\setlength }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtolength }[2]{}\)
\(\newcommand {\setcounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\arabic }[1]{}\)
\(\newcommand {\number }[1]{}\)
\(\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\newcommand {\cline }[1]{}\)
\(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\protect }{}\)
\(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\)
\(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\)
\(\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}\)
\(\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }\)
\(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\)
\(\def \mathcode #1={\mathchar }\)
\(\let \delcode \mathcode \)
\(\let \delimiter \mathchar \)
\(\def \oe {\unicode {x0153}}\)
\(\def \OE {\unicode {x0152}}\)
\(\def \ae {\unicode {x00E6}}\)
\(\def \AE {\unicode {x00C6}}\)
\(\def \aa {\unicode {x00E5}}\)
\(\def \AA {\unicode {x00C5}}\)
\(\def \o {\unicode {x00F8}}\)
\(\def \O {\unicode {x00D8}}\)
\(\def \l {\unicode {x0142}}\)
\(\def \L {\unicode {x0141}}\)
\(\def \ss {\unicode {x00DF}}\)
\(\def \SS {\unicode {x1E9E}}\)
\(\def \dag {\unicode {x2020}}\)
\(\def \ddag {\unicode {x2021}}\)
\(\def \P {\unicode {x00B6}}\)
\(\def \copyright {\unicode {x00A9}}\)
\(\def \pounds {\unicode {x00A3}}\)
\(\let \LWRref \ref \)
\(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\)
\( \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}\)
\(\require {textcomp}\)
\(\require {colortbl}\)
\(\let \LWRorigcolumncolor \columncolor \)
\(\renewcommand {\columncolor }[2][named]{\LWRorigcolumncolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\let \LWRorigrowcolor \rowcolor \)
\(\renewcommand {\rowcolor }[2][named]{\LWRorigrowcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\let \LWRorigcellcolor \cellcolor \)
\(\renewcommand {\cellcolor }[2][named]{\LWRorigcellcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\newcommand {\tothe }[1]{^{#1}}\)
\(\newcommand {\raiseto }[2]{{#2}^{#1}}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxEND }{}\)
\(\def \LWRsiunitxang #1;#2;#3;#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#1}{}{\num {#1}\degree }\ifblank {#2}{}{\num {#2}^{\unicode {x2032}}}\ifblank {#3}{}{\num {#3}^{\unicode {x2033}}}}\)
\(\newcommand {\ang }[2][]{\LWRsiunitxang #2;;;\LWRsiunitxEND }\)
\(\def \LWRsiunitxdistribunit {}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxENDTWO }{}\)
\(\def \LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,#2,#3\LWRsiunitxENDTWO {\ifblank {#1}{0}{\mathrm {#1}}\ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\mathrm {#2}}}\)
\(\def \LWRsiunitxprintdecimalsub #1.#2.#3\LWRsiunitxEND {\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,,\LWRsiunitxENDTWO \ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo
#2,,\LWRsiunitxENDTWO }}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxprintdecimal }[1]{\LWRsiunitxprintdecimalsub #1...\LWRsiunitxEND }\)
\(\def \LWRsiunitxnumplus #1+#2+#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}{\ifblank {#1}{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode
{x02B}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}}\LWRsiunitxdistribunit }\)
\(\def \LWRsiunitxnumminus #1-#2-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumplus #1+++\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#1}{}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}\unicode {x02212}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\def \LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm #2\pm #3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumminus #1---\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\def \LWRsiunitxnumpm #1+-#2+-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm \pm \pm \LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxnumscientific }[2]{\ifblank {#1}{}{\ifstrequal {#1}{-}{-}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\times }}10^{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}\LWRsiunitxdistribunit }\)
\(\def \LWRsiunitxnumD #1D#2D#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpm #1+-+-\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumd #1d#2d#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumD #1DDD\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumE #1E#2E#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumd #1ddd\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnume #1e#2e#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumE #1EEE\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumx #1x#2x#3x#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#3}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume
#2eee\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #3eee\LWRsiunitxEND }}}\)
\(\newcommand {\num }[2][]{\LWRsiunitxnumx #2xxxxx\LWRsiunitxEND }\)
\(\newcommand {\si }[2][]{\mathrm {\gsubstitute {#2}{~}{\,}}}\)
\(\def \LWRsiunitxSIopt #1[#2]#3{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#3}}{#2}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxSI }[2]{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#2}}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\)
\(\newcommand {\SI }[2][]{\ifnextchar [{\LWRsiunitxSIopt {#2}}{\LWRsiunitxSI {#2}}}\)
\(\newcommand {\numlist }[2][]{\text {#2}}\)
\(\newcommand {\numrange }[3][]{\num {#2}\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}}\)
\(\newcommand {\SIlist }[3][]{\text {#2}\,\si {#3}}\)
\(\newcommand {\SIrange }[4][]{\num {#2}\,#4\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}\,#4}\)
\(\newcommand {\tablenum }[2][]{\mathrm {#2}}\)
\(\newcommand {\ampere }{\mathrm {A}}\)
\(\newcommand {\candela }{\mathrm {cd}}\)
\(\newcommand {\kelvin }{\mathrm {K}}\)
\(\newcommand {\kilogram }{\mathrm {kg}}\)
\(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\mole }{\mathrm {mol}}\)
\(\newcommand {\second }{\mathrm {s}}\)
\(\newcommand {\becquerel }{\mathrm {Bq}}\)
\(\newcommand {\degreeCelsius }{\unicode {x2103}}\)
\(\newcommand {\coulomb }{\mathrm {C}}\)
\(\newcommand {\farad }{\mathrm {F}}\)
\(\newcommand {\gray }{\mathrm {Gy}}\)
\(\newcommand {\hertz }{\mathrm {Hz}}\)
\(\newcommand {\henry }{\mathrm {H}}\)
\(\newcommand {\joule }{\mathrm {J}}\)
\(\newcommand {\katal }{\mathrm {kat}}\)
\(\newcommand {\lumen }{\mathrm {lm}}\)
\(\newcommand {\lux }{\mathrm {lx}}\)
\(\newcommand {\newton }{\mathrm {N}}\)
\(\newcommand {\ohm }{\mathrm {\Omega }}\)
\(\newcommand {\pascal }{\mathrm {Pa}}\)
\(\newcommand {\radian }{\mathrm {rad}}\)
\(\newcommand {\siemens }{\mathrm {S}}\)
\(\newcommand {\sievert }{\mathrm {Sv}}\)
\(\newcommand {\steradian }{\mathrm {sr}}\)
\(\newcommand {\tesla }{\mathrm {T}}\)
\(\newcommand {\volt }{\mathrm {V}}\)
\(\newcommand {\watt }{\mathrm {W}}\)
\(\newcommand {\weber }{\mathrm {Wb}}\)
\(\newcommand {\day }{\mathrm {d}}\)
\(\newcommand {\degree }{\mathrm {^\circ }}\)
\(\newcommand {\hectare }{\mathrm {ha}}\)
\(\newcommand {\hour }{\mathrm {h}}\)
\(\newcommand {\litre }{\mathrm {l}}\)
\(\newcommand {\liter }{\mathrm {L}}\)
\(\newcommand {\arcminute }{^\prime }\)
\(\newcommand {\minute }{\mathrm {min}}\)
\(\newcommand {\arcsecond }{^{\prime \prime }}\)
\(\newcommand {\tonne }{\mathrm {t}}\)
\(\newcommand {\astronomicalunit }{au}\)
\(\newcommand {\atomicmassunit }{u}\)
\(\newcommand {\bohr }{\mathit {a}_0}\)
\(\newcommand {\clight }{\mathit {c}_0}\)
\(\newcommand {\dalton }{\mathrm {D}_\mathrm {a}}\)
\(\newcommand {\electronmass }{\mathit {m}_{\mathrm {e}}}\)
\(\newcommand {\electronvolt }{\mathrm {eV}}\)
\(\newcommand {\elementarycharge }{\mathit {e}}\)
\(\newcommand {\hartree }{\mathit {E}_{\mathrm {h}}}\)
\(\newcommand {\planckbar }{\mathit {\unicode {x210F}}}\)
\(\newcommand {\angstrom }{\mathrm {\unicode {x212B}}}\)
\(\let \LWRorigbar \bar \)
\(\newcommand {\barn }{\mathrm {b}}\)
\(\newcommand {\bel }{\mathrm {B}}\)
\(\newcommand {\decibel }{\mathrm {dB}}\)
\(\newcommand {\knot }{\mathrm {kn}}\)
\(\newcommand {\mmHg }{\mathrm {mmHg}}\)
\(\newcommand {\nauticalmile }{\mathrm {M}}\)
\(\newcommand {\neper }{\mathrm {Np}}\)
\(\newcommand {\yocto }{\mathrm {y}}\)
\(\newcommand {\zepto }{\mathrm {z}}\)
\(\newcommand {\atto }{\mathrm {a}}\)
\(\newcommand {\femto }{\mathrm {f}}\)
\(\newcommand {\pico }{\mathrm {p}}\)
\(\newcommand {\nano }{\mathrm {n}}\)
\(\newcommand {\micro }{\mathrm {\unicode {x00B5}}}\)
\(\newcommand {\milli }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\centi }{\mathrm {c}}\)
\(\newcommand {\deci }{\mathrm {d}}\)
\(\newcommand {\deca }{\mathrm {da}}\)
\(\newcommand {\hecto }{\mathrm {h}}\)
\(\newcommand {\kilo }{\mathrm {k}}\)
\(\newcommand {\mega }{\mathrm {M}}\)
\(\newcommand {\giga }{\mathrm {G}}\)
\(\newcommand {\tera }{\mathrm {T}}\)
\(\newcommand {\peta }{\mathrm {P}}\)
\(\newcommand {\exa }{\mathrm {E}}\)
\(\newcommand {\zetta }{\mathrm {Z}}\)
\(\newcommand {\yotta }{\mathrm {Y}}\)
\(\newcommand {\percent }{\mathrm {\%}}\)
\(\newcommand {\meter }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\gram }{\mathrm {g}}\)
\(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\)
\(\newcommand {\of }[1]{_{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\squared }{^2}\)
\(\newcommand {\square }[1]{\mathrm {#1}^2}\)
\(\newcommand {\cubed }{^3}\)
\(\newcommand {\cubic }[1]{\mathrm {#1}^3}\)
\(\newcommand {\per }{\,\mathrm {/}}\)
\(\newcommand {\celsius }{\unicode {x2103}}\)
\(\newcommand {\fg }{\femto \gram }\)
\(\newcommand {\pg }{\pico \gram }\)
\(\newcommand {\ng }{\nano \gram }\)
\(\newcommand {\ug }{\micro \gram }\)
\(\newcommand {\mg }{\milli \gram }\)
\(\newcommand {\g }{\gram }\)
\(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\)
\(\newcommand {\amu }{\mathrm {u}}\)
\(\newcommand {\nm }{\nano \metre }\)
\(\newcommand {\um }{\micro \metre }\)
\(\newcommand {\mm }{\milli \metre }\)
\(\newcommand {\cm }{\centi \metre }\)
\(\newcommand {\dm }{\deci \metre }\)
\(\newcommand {\m }{\metre }\)
\(\newcommand {\km }{\kilo \metre }\)
\(\newcommand {\as }{\atto \second }\)
\(\newcommand {\fs }{\femto \second }\)
\(\newcommand {\ps }{\pico \second }\)
\(\newcommand {\ns }{\nano \second }\)
\(\newcommand {\us }{\micro \second }\)
\(\newcommand {\ms }{\milli \second }\)
\(\newcommand {\s }{\second }\)
\(\newcommand {\fmol }{\femto \mol }\)
\(\newcommand {\pmol }{\pico \mol }\)
\(\newcommand {\nmol }{\nano \mol }\)
\(\newcommand {\umol }{\micro \mol }\)
\(\newcommand {\mmol }{\milli \mol }\)
\(\newcommand {\mol }{\mol }\)
\(\newcommand {\kmol }{\kilo \mol }\)
\(\newcommand {\pA }{\pico \ampere }\)
\(\newcommand {\nA }{\nano \ampere }\)
\(\newcommand {\uA }{\micro \ampere }\)
\(\newcommand {\mA }{\milli \ampere }\)
\(\newcommand {\A }{\ampere }\)
\(\newcommand {\kA }{\kilo \ampere }\)
\(\newcommand {\ul }{\micro \litre }\)
\(\newcommand {\ml }{\milli \litre }\)
\(\newcommand {\l }{\litre }\)
\(\newcommand {\hl }{\hecto \litre }\)
\(\newcommand {\uL }{\micro \liter }\)
\(\newcommand {\mL }{\milli \liter }\)
\(\newcommand {\L }{\liter }\)
\(\newcommand {\hL }{\hecto \liter }\)
\(\newcommand {\mHz }{\milli \hertz }\)
\(\newcommand {\Hz }{\hertz }\)
\(\newcommand {\kHz }{\kilo \hertz }\)
\(\newcommand {\MHz }{\mega \hertz }\)
\(\newcommand {\GHz }{\giga \hertz }\)
\(\newcommand {\THz }{\tera \hertz }\)
\(\newcommand {\mN }{\milli \newton }\)
\(\newcommand {\N }{\newton }\)
\(\newcommand {\kN }{\kilo \newton }\)
\(\newcommand {\MN }{\mega \newton }\)
\(\newcommand {\Pa }{\pascal }\)
\(\newcommand {\kPa }{\kilo \pascal }\)
\(\newcommand {\MPa }{\mega \pascal }\)
\(\newcommand {\GPa }{\giga \pascal }\)
\(\newcommand {\mohm }{\milli \ohm }\)
\(\newcommand {\kohm }{\kilo \ohm }\)
\(\newcommand {\Mohm }{\mega \ohm }\)
\(\newcommand {\pV }{\pico \volt }\)
\(\newcommand {\nV }{\nano \volt }\)
\(\newcommand {\uV }{\micro \volt }\)
\(\newcommand {\mV }{\milli \volt }\)
\(\newcommand {\V }{\volt }\)
\(\newcommand {\kV }{\kilo \volt }\)
\(\newcommand {\W }{\watt }\)
\(\newcommand {\uW }{\micro \watt }\)
\(\newcommand {\mW }{\milli \watt }\)
\(\newcommand {\kW }{\kilo \watt }\)
\(\newcommand {\MW }{\mega \watt }\)
\(\newcommand {\GW }{\giga \watt }\)
\(\newcommand {\J }{\joule }\)
\(\newcommand {\uJ }{\micro \joule }\)
\(\newcommand {\mJ }{\milli \joule }\)
\(\newcommand {\kJ }{\kilo \joule }\)
\(\newcommand {\eV }{\electronvolt }\)
\(\newcommand {\meV }{\milli \electronvolt }\)
\(\newcommand {\keV }{\kilo \electronvolt }\)
\(\newcommand {\MeV }{\mega \electronvolt }\)
\(\newcommand {\GeV }{\giga \electronvolt }\)
\(\newcommand {\TeV }{\tera \electronvolt }\)
\(\newcommand {\kWh }{\kilo \watt \hour }\)
\(\newcommand {\F }{\farad }\)
\(\newcommand {\fF }{\femto \farad }\)
\(\newcommand {\pF }{\pico \farad }\)
\(\newcommand {\K }{\mathrm {K}}\)
\(\newcommand {\dB }{\mathrm {dB}}\)
\(\newcommand {\kibi }{\mathrm {Ki}}\)
\(\newcommand {\mebi }{\mathrm {Mi}}\)
\(\newcommand {\gibi }{\mathrm {Gi}}\)
\(\newcommand {\tebi }{\mathrm {Ti}}\)
\(\newcommand {\pebi }{\mathrm {Pi}}\)
\(\newcommand {\exbi }{\mathrm {Ei}}\)
\(\newcommand {\zebi }{\mathrm {Zi}}\)
\(\newcommand {\yobi }{\mathrm {Yi}}\)
\(\let \unit \si \)
\(\let \qty \SI \)
\(\let \qtylist \SIlist \)
\(\let \qtyrange \SIrange \)
\(\let \numproduct \num \)
\(\let \qtyproduct \SI \)
\(\let \complexnum \num \)
\(\newcommand {\complexqty }[3][]{(\complexnum {#2})\si {#3}}\)
\(\newcommand {\mleft }{\left }\)
\(\newcommand {\mright }{\right }\)
\(\newcommand {\mleftright }{}\)
\(\newcommand {\mleftrightrestore }{}\)
\(\require {gensymb}\)
\(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\let \Hat \hat \)
\(\let \Check \check \)
\(\let \Tilde \tilde \)
\(\let \Acute \acute \)
\(\let \Grave \grave \)
\(\let \Dot \dot \)
\(\let \Ddot \ddot \)
\(\let \Breve \breve \)
\(\let \Bar \bar \)
\(\let \Vec \vec \)
\(\require {cancel}\)
\(\newcommand {\Dm }{\operatorname {Dm}}\)
\(\newcommand {\Vm }{\operatorname {Vm}}\)
\(\newcommand {\Var }{\operatorname {Var}}\)
\(\newcommand {\tcbset }[1]{}\)
\(\newcommand {\tcbsetforeverylayer }[1]{}\)
\(\newcommand {\tcbox }[2][]{\boxed {\text {#2}}}\)
\(\newcommand {\tcboxfit }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\tcblower }{}\)
\(\newcommand {\tcbline }{}\)
\(\newcommand {\tcbtitle }{}\)
\(\newcommand {\tcbsubtitle [2][]{\mathrm {#2}}}\)
\(\newcommand {\tcboxmath }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\tcbhighmath }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }\)
\(\let \midrule \toprule \)
\(\let \bottomrule \toprule \)
\(\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}\)
\(\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}\)
\(\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }\)
\(\newcommand {\morecmidrules }{}\)
\(\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }\)
\(\newcommand {\addlinespace }[1][]{}\)
\(\def \LWRsiunitxrangephrase { \protect \mbox {to (numerical range)} }\)
\(\def \LWRsiunitxdecimal {.}\)
16.1 Konfidensintervaller – binomialfordeling
Forstil dig, at du ejer en æbleplantage. En del af æblerne er du nødt til at kassere, da de ikke lever op til kvalitetskravene. Du vil nu gerne undersøge, hvor stor en andel af æblerne, du skal kassere. Samtlige æbler på plantagen
kalder vi for populationen. Det ville være for stort et arbejde at undersøge hele populationen, så du udtager en stikprøve. Lad os sige, at du finder ud
af at \(10\%\) af æblerne i din stikprøve skal kasseres. Kan du så være sikker på at \(10\%\) af æblerne i populationen skal kasseres? Selvfølgelig ikke. Det kunne f.eks. være at din stikprøve tilfældigvis indholdte særlig mange
dårlige æbler, og at de \(10\%\) derved var misvisende. Vi siger at de \(10\%\) er et estimat for andelen af dårlige æbler (i populationen) og betegner det med \(\hat {p}\). Hvis vi vil udtale os med rimelig sikkerhed, er
vi nødt til at angive et interval rundt om vores estimat. Det kunne f.eks. se således ud:
\[[8\%;12\%]\]
Hvis vi er \(95\%\) sikre på, at andelen af dårlige æbler (for populationen) ligger i dette interval, kalder vi intervallet for et \(95\%\)-konfidensinterval.
Konfidensintervaller i GeoGebra
Vi skal nu se hvordan vi bestemmer et sådan konfidensinterval i GeoGebra. Lad os sige, at vi har udtaget \(500\) æbler og \(50\) af dem var dårlige. Vi åbner sandsynlighedsregneren i GeoGebra og vælger ”Statistik”.
Vi vælger nu ”Z interval for andel”:
Vi skal nu udfylde tre felter:
. |
Konfidensniveau |
Her skriver vi den sikkerhed (angivet som decimaltal) vi ønsker. |
Successer |
Her skriver, vi hvor mange dårlige æbler vi har fået. |
\(n\) |
Her skriver vi stikprøvestørrelsen. |
|
|
Vi vil gerne have \(95\%\) sikkerhed, så vi skriver \(0{,}95\) som ”Konfidensniveau”. Vi har \(50\) dårlige æbler i stikprøven, så det skriver vi som ”Successer”. Ved \(n\) skriver vi \(500\), da vi har udtaget en stikprøve på
\(500\) æbler. Det giver:
Nederst ud fra ”Interval” står der \(0{,}1\pm 0{,}026\ldots \). De \(0{,}1\) er vores estimat for andelen af dårlige æbler. Vi har altså
\[\hat {p}=0{,}1\]
Det er ikke overraskende at \(\hat {p}=0{,}1=10\%\), da \(50\) ud af \(500\) er \(10\%\). Vi kan nu aflæse konfidensintervallet i screenshottet. Det er det lukkede interval fra ”Nedre grænse” til ”Øvre grænse”, hvilket er
intervallet:
\[[0{,}074;0{,}126]\]
Det betyder, at vi med \(95\%\) sikkerhed kan sige, at mellem \(7{,}4\%\) og \(12{,}6\%\) af alle æblerne i populationen er dårlige. Så vores bedste bud på andelen af dårlige æbler er \(10\%\), men hvis vi skal tage forbehold for
usikkerhed, vil vi begrænse os til at sige, at mellem \(7{,}4\%\) og \(12{,}6\%\) af alle æblerne i plantagen er dårlige.
Øvelse 16.1.1
En elev ville undersøge ungdomsarbejdsløsheden i Danmark og spurgte 200 repræsentativt udvalgte unge, om de var i arbejde. Der var 32 ud af de 200 som ikke var i arbejde.
-
a) Angiv et estimat af ungdomsarbejdsløsheden.
-
b) Bestem et \(95\%\)-konfidensinterval for ungdomsarbejdsløsheden og forklar, hvad det betyder.
-
c) Bestem et \(90\%\)-konfidensinterval for ungdomsarbejdsløsheden og forklar, hvad det betyder.
-
d) Hvilket interval er bredest? \(90\%\) eller \(95\%\)-konfidensintervallet?
Løsning 16.1.1
-
a) \(\hat {p}=0{,}16\)
-
b) Konfidensintervallet er \([0,11;0,21]\), hvilket betyder at vi med \(95\%\)-sikkerhed kan sige, at ungdomsarbejdsløsheden ligger mellem \(11\%\) og
\(21\%\)
-
c) Konfidensintervallet er \([0{,}12;0{,}20]\), hvilket betyder at vi med \(90\%\)-sikkerhed kan sige, at ungdomsarbejdsløsheden ligger mellem
\(12\%\) og \(20\%\)
-
d) Det er \(95\%\)-konfidensintervallet. Vi vil senere se på hvorfor.
Konfidensintervaller ved beregning
Vi skal nu se på, hvordan man beregner konfidensintervaller ved hjælp af en formel. Før vi opstiller formlen, skal vi se på noget teori, der ligger bag formlen. Vi bliver ved æbleplantagen. Når vi udtager \(500\) æbler, vil antallet af
dårlige æbler være binomialfordelt. Vi husker nemlig, at en binomialfordeling består af \(n\) uafhængige forsøg, hvor hvert forsøg har en successandsynlighed på \(p\). I vores tilfælde er \(n=500\), fordi vi udtager \(500\) æbler.
Sandsynlighedsparameteren \(p\), er sandsynligheden for et dårligt æble, og den kender vi ikke. Det er faktisk den, vi gerne vil finde, da sandsynligheden for at få et dårligt æble, må være det samme som andelen af dårlige æbler (i
populationen). Altså, hvis der \(10\%\) sandsynlighed for at få et dårligt æble, må det være fordi \(10\%\) af æblerne er dårlige. Så vi leder efter en formel for et konfidensinterval for sandsynlighedsparameteren i en
binomialfordeling.
Før vi kan beregne konfidensintervallet, har vi brug for nogle forskellige størrelser. For det første har vi brug for et estimat for \(p\). Det finder vi med formlen:
\[\hat {p}=\frac {x}{n}\]
Her er \(\hat {p}\) estimatet, \(x\) er antal succeser og \(n\) er antal forsøg. I eksemplet med æbler har vi \(n=500\), fordi der er \(500\) æbler i stikprøven, \(x=50\) fordi der var \(50\) dårlige æbler. Estimatet \(\hat {p}\)
bliver så:
\[\hat {p}=\frac {50}{500}=0{,}1\]
Vi har også brug for nogle ”fraktiler i en normalfordeling”. Dem som afslutter matematik på A-niveau vil lære hvad det betyder. For resten af os, er det bare nogle tal, vi finder i en tabel:
\(\begin {array}{|r|c|} \hline \text {Konfidensniveau} & z_{1-\frac {\alpha }{2}} \\ \hline 90\% & 1{,}645\\ \hline 95\% & 1{,}960 \\ \hline 99\% & 2{,}576 \\ \hline \end
{array}\)
I tabellen ser vi fraktilerne, der betegnes med \(z_{1-\frac {\alpha }{2}}\), for forskellige konfidensniveauer. Vi husker, at konfidensniveauet betyder den sikkerhed, vi ønsker vores konfidensinterval skal have.
-
Sætning 16.1.1
Hvis \(p\) opfylder at \(n\cdot \hat {p}\cdot (1-\hat {p})>9\) kan et konfidensinterval \(I\) for sandsynlighedsparameteren \(p\) i en
binomialfordeling bestemmes ved formlen:
\[I=\left [\hat {p}-z_{1-\frac {\alpha }{2}}\cdot \sqrt \frac {\hat {p}(1-\hat {p})}{n};\hat {p}+z_{1-\frac {\alpha }{2}}\cdot \sqrt \frac {\hat {p}(1-\hat {p})}{n}\right ]\]
Her er :
- \(n\):
-
Stikprøvens størrelse
- \(\hat {p}\):
-
Estimat af sandsynlighedsparameteren \(p\).
- \(z_{1-\frac {\alpha }{2}}\):
-
\(\left (1-\frac {\alpha }{2}\right )\)-fraktilen i standardnormalfordelingen.
Kravet \(n\cdot \hat {p}\cdot (1-\hat {p})>9\) skal ses som en tommelfingerregel. Formlen giver ikke det eksakte konfidensinterval, men kun en tilnærmelse. Tilnærmelsen bliver bedre jo højere \(n\cdot \hat {p}\cdot
(1-\hat {p})\) er. GeoGebra bruger i øvrigt samme formel, så vi bør egentlig også tjekke kravet, når vi bruger GeoGebra.
Øvelse 16.1.2
Mor Jette laver en mønt ud af ler og kaster den 80 gange. Hun får 34 plat. Hun vil nu gerne bestemme et konfidensinterval for sandsynligheden for at slå plat.
-
a) Bestem \(\hat {p}\).
-
b) Regn \(n\cdot \hat {p}\cdot (1-\hat {p})\) og tjek om kravet \(n\cdot \hat {p}\cdot (1-\hat {p})>9\) er opfyldt.
-
c) Bestem ved beregning et \(95\%\)-konfidensinterval for \(p\).
-
d) Mor Jette mener at mønten er fair, men Jessica Priscilla tror ikke på hende. De bliver enige om at spørge dig. Hvad siger du til dem?
Løsning 16.1.2
-
a) \(\hat {p}=0{,}425\).
-
b) \(n\cdot \hat {p}\cdot (1-\hat {p})=19{,}55\). Da \(19{,}55>9\) er kravet opfyldt.
-
c) \([0{,}32;0{,}53]\)
-
d) Mønten er fair hvis \(p=0{,}5\). Da \(0{,}5\) ligger i intervallet \([0{,}32;0{,}53]\) kan vi ikke med rimelig sikkerhed afvise at mønten er fair.
Bredden af konfidensintervaller
Standardvalget for konfidensniveauet er \(95\%\). Men hvorfor ikke tage f.eks. \(99\%\)? Men som vi så i øvelse 16.1.1, vil et højere
konfidensniveau lede til et bredere interval. Det er ikke så overraskende, da vi er nødt til at tage flere værdier med i intervallet, hvis vi skal være mere sikker på, at intervallet indeholder den søgte værdi. Derfor skal vi beslutte, om vi
gerne vil sige noget upræcist (bredt interval) med stor sikkerhed (højt konfidensniveau) eller om vi vil sige noget mere præcist (smalt interval) med mindre sikkerhed (lavt konfidensniveau). Her er der tradition for at vælge \(95\%\)
som kompromis mellem de to positioner. Vil vi gerne have både præcision og sikkerhed, kan vi få det ved at udtage en større stikprøve.
Ekstra
Man kan undre sig over, hvad \(95\%\)-sikkerhed betyder i forbindelse med konfidensintervaller. Det skal forstås på den måde, at hvis du lavede rigtig mange stikprøver med tilhørende konfidensintervaller, så ville \(95\%\) af dine
konfidensintervaller indeholde den korrekte andel af dårlige æbler. Så de \(95\%\) er ikke en sandsynlighed for at et konkret interval indeholder den korrekte andel. Den korrekte andel er nemlig ikke stokastisk (tilfældig), så
sandsynligheden for at et konkret interval indeholder den korrekte værdi er enten \(0\) eller \(100\%\). Denne pointe er vigtig hvis man ønsker at udlede formler for konfidensintervaller.