MATHHX B

MATHHX B

\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\) \(\def \LWRfootnote {1}\) \(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\let \LWRorighspace \hspace \) \(\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }\) \(\newcommand {\TextOrMath }[2]{#2}\) \(\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}\) \(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\) \(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \) \(\newcommand {\setlength }[2]{}\) \(\newcommand {\addtolength }[2]{}\) \(\newcommand {\setcounter }[2]{}\) \(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\) \(\newcommand {\arabic }[1]{}\) \(\newcommand {\number }[1]{}\) \(\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\newcommand {\cline }[1]{}\) \(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\protect }{}\) \(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\) \(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\) \(\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}\) \(\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }\) \(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\) \(\def \mathcode #1={\mathchar }\) \(\let \delcode \mathcode \) \(\let \delimiter \mathchar \) \(\def \oe {\unicode {x0153}}\) \(\def \OE {\unicode {x0152}}\) \(\def \ae {\unicode {x00E6}}\) \(\def \AE {\unicode {x00C6}}\) \(\def \aa {\unicode {x00E5}}\) \(\def \AA {\unicode {x00C5}}\) \(\def \o {\unicode {x00F8}}\) \(\def \O {\unicode {x00D8}}\) \(\def \l {\unicode {x0142}}\) \(\def \L {\unicode {x0141}}\) \(\def \ss {\unicode {x00DF}}\) \(\def \SS {\unicode {x1E9E}}\) \(\def \dag {\unicode {x2020}}\) \(\def \ddag {\unicode {x2021}}\) \(\def \P {\unicode {x00B6}}\) \(\def \copyright {\unicode {x00A9}}\) \(\def \pounds {\unicode {x00A3}}\) \(\let \LWRref \ref \) \(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\) \( \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}\) \(\require {textcomp}\) \(\require {colortbl}\) \(\let \LWRorigcolumncolor \columncolor \) \(\renewcommand {\columncolor }[2][named]{\LWRorigcolumncolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigrowcolor \rowcolor \) \(\renewcommand {\rowcolor }[2][named]{\LWRorigrowcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigcellcolor \cellcolor \) \(\renewcommand {\cellcolor }[2][named]{\LWRorigcellcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\newcommand {\tothe }[1]{^{#1}}\) \(\newcommand {\raiseto }[2]{{#2}^{#1}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxEND }{}\) \(\def \LWRsiunitxang #1;#2;#3;#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#1}{}{\num {#1}\degree }\ifblank {#2}{}{\num {#2}^{\unicode {x2032}}}\ifblank {#3}{}{\num {#3}^{\unicode {x2033}}}}\) \(\newcommand {\ang }[2][]{\LWRsiunitxang #2;;;\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxdistribunit {}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxENDTWO }{}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,#2,#3\LWRsiunitxENDTWO {\ifblank {#1}{0}{\mathrm {#1}}\ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\mathrm {#2}}}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsub #1.#2.#3\LWRsiunitxEND {\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,,\LWRsiunitxENDTWO \ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #2,,\LWRsiunitxENDTWO }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxprintdecimal }[1]{\LWRsiunitxprintdecimalsub #1...\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxnumplus #1+#2+#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}{\ifblank {#1}{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x02B}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumminus #1-#2-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumplus #1+++\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#1}{}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}\unicode {x02212}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm #2\pm #3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumminus #1---\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpm #1+-#2+-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm \pm \pm \LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxnumscientific }[2]{\ifblank {#1}{}{\ifstrequal {#1}{-}{-}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\times }}10^{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumD #1D#2D#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpm #1+-+-\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumd #1d#2d#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumD #1DDD\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumE #1E#2E#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumd #1ddd\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnume #1e#2e#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumE #1EEE\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumx #1x#2x#3x#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#3}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #3eee\LWRsiunitxEND }}}\) \(\newcommand {\num }[2][]{\LWRsiunitxnumx #2xxxxx\LWRsiunitxEND }\) \(\newcommand {\si }[2][]{\mathrm {\gsubstitute {#2}{~}{\,}}}\) \(\def \LWRsiunitxSIopt #1[#2]#3{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#3}}{#2}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxSI }[2]{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#2}}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\SI }[2][]{\ifnextchar [{\LWRsiunitxSIopt {#2}}{\LWRsiunitxSI {#2}}}\) \(\newcommand {\numlist }[2][]{\text {#2}}\) \(\newcommand {\numrange }[3][]{\num {#2}\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}}\) \(\newcommand {\SIlist }[3][]{\text {#2}\,\si {#3}}\) \(\newcommand {\SIrange }[4][]{\num {#2}\,#4\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}\,#4}\) \(\newcommand {\tablenum }[2][]{\mathrm {#2}}\) \(\newcommand {\ampere }{\mathrm {A}}\) \(\newcommand {\candela }{\mathrm {cd}}\) \(\newcommand {\kelvin }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\kilogram }{\mathrm {kg}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\mole }{\mathrm {mol}}\) \(\newcommand {\second }{\mathrm {s}}\) \(\newcommand {\becquerel }{\mathrm {Bq}}\) \(\newcommand {\degreeCelsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\coulomb }{\mathrm {C}}\) \(\newcommand {\farad }{\mathrm {F}}\) \(\newcommand {\gray }{\mathrm {Gy}}\) \(\newcommand {\hertz }{\mathrm {Hz}}\) \(\newcommand {\henry }{\mathrm {H}}\) \(\newcommand {\joule }{\mathrm {J}}\) \(\newcommand {\katal }{\mathrm {kat}}\) \(\newcommand {\lumen }{\mathrm {lm}}\) \(\newcommand {\lux }{\mathrm {lx}}\) \(\newcommand {\newton }{\mathrm {N}}\) \(\newcommand {\ohm }{\mathrm {\Omega }}\) \(\newcommand {\pascal }{\mathrm {Pa}}\) \(\newcommand {\radian }{\mathrm {rad}}\) \(\newcommand {\siemens }{\mathrm {S}}\) \(\newcommand {\sievert }{\mathrm {Sv}}\) \(\newcommand {\steradian }{\mathrm {sr}}\) \(\newcommand {\tesla }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\volt }{\mathrm {V}}\) \(\newcommand {\watt }{\mathrm {W}}\) \(\newcommand {\weber }{\mathrm {Wb}}\) \(\newcommand {\day }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\degree }{\mathrm {^\circ }}\) \(\newcommand {\hectare }{\mathrm {ha}}\) \(\newcommand {\hour }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\litre }{\mathrm {l}}\) \(\newcommand {\liter }{\mathrm {L}}\) \(\newcommand {\arcminute }{^\prime }\) \(\newcommand {\minute }{\mathrm {min}}\) \(\newcommand {\arcsecond }{^{\prime \prime }}\) \(\newcommand {\tonne }{\mathrm {t}}\) \(\newcommand {\astronomicalunit }{au}\) \(\newcommand {\atomicmassunit }{u}\) \(\newcommand {\bohr }{\mathit {a}_0}\) \(\newcommand {\clight }{\mathit {c}_0}\) \(\newcommand {\dalton }{\mathrm {D}_\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\electronmass }{\mathit {m}_{\mathrm {e}}}\) \(\newcommand {\electronvolt }{\mathrm {eV}}\) \(\newcommand {\elementarycharge }{\mathit {e}}\) \(\newcommand {\hartree }{\mathit {E}_{\mathrm {h}}}\) \(\newcommand {\planckbar }{\mathit {\unicode {x210F}}}\) \(\newcommand {\angstrom }{\mathrm {\unicode {x212B}}}\) \(\let \LWRorigbar \bar \) \(\newcommand {\barn }{\mathrm {b}}\) \(\newcommand {\bel }{\mathrm {B}}\) \(\newcommand {\decibel }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\knot }{\mathrm {kn}}\) \(\newcommand {\mmHg }{\mathrm {mmHg}}\) \(\newcommand {\nauticalmile }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\neper }{\mathrm {Np}}\) \(\newcommand {\yocto }{\mathrm {y}}\) \(\newcommand {\zepto }{\mathrm {z}}\) \(\newcommand {\atto }{\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\femto }{\mathrm {f}}\) \(\newcommand {\pico }{\mathrm {p}}\) \(\newcommand {\nano }{\mathrm {n}}\) \(\newcommand {\micro }{\mathrm {\unicode {x00B5}}}\) \(\newcommand {\milli }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\centi }{\mathrm {c}}\) \(\newcommand {\deci }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\deca }{\mathrm {da}}\) \(\newcommand {\hecto }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\kilo }{\mathrm {k}}\) \(\newcommand {\mega }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\giga }{\mathrm {G}}\) \(\newcommand {\tera }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\peta }{\mathrm {P}}\) \(\newcommand {\exa }{\mathrm {E}}\) \(\newcommand {\zetta }{\mathrm {Z}}\) \(\newcommand {\yotta }{\mathrm {Y}}\) \(\newcommand {\percent }{\mathrm {\%}}\) \(\newcommand {\meter }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\gram }{\mathrm {g}}\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\of }[1]{_{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\squared }{^2}\) \(\newcommand {\square }[1]{\mathrm {#1}^2}\) \(\newcommand {\cubed }{^3}\) \(\newcommand {\cubic }[1]{\mathrm {#1}^3}\) \(\newcommand {\per }{\,\mathrm {/}}\) \(\newcommand {\celsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\fg }{\femto \gram }\) \(\newcommand {\pg }{\pico \gram }\) \(\newcommand {\ng }{\nano \gram }\) \(\newcommand {\ug }{\micro \gram }\) \(\newcommand {\mg }{\milli \gram }\) \(\newcommand {\g }{\gram }\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\amu }{\mathrm {u}}\) \(\newcommand {\nm }{\nano \metre }\) \(\newcommand {\um }{\micro \metre }\) \(\newcommand {\mm }{\milli \metre }\) \(\newcommand {\cm }{\centi \metre }\) \(\newcommand {\dm }{\deci \metre }\) \(\newcommand {\m }{\metre }\) \(\newcommand {\km }{\kilo \metre }\) \(\newcommand {\as }{\atto \second }\) \(\newcommand {\fs }{\femto \second }\) \(\newcommand {\ps }{\pico \second }\) \(\newcommand {\ns }{\nano \second }\) \(\newcommand {\us }{\micro \second }\) \(\newcommand {\ms }{\milli \second }\) \(\newcommand {\s }{\second }\) \(\newcommand {\fmol }{\femto \mol }\) \(\newcommand {\pmol }{\pico \mol }\) \(\newcommand {\nmol }{\nano \mol }\) \(\newcommand {\umol }{\micro \mol }\) \(\newcommand {\mmol }{\milli \mol }\) \(\newcommand {\mol }{\mol }\) \(\newcommand {\kmol }{\kilo \mol }\) \(\newcommand {\pA }{\pico \ampere }\) \(\newcommand {\nA }{\nano \ampere }\) \(\newcommand {\uA }{\micro \ampere }\) \(\newcommand {\mA }{\milli \ampere }\) \(\newcommand {\A }{\ampere }\) \(\newcommand {\kA }{\kilo \ampere }\) \(\newcommand {\ul }{\micro \litre }\) \(\newcommand {\ml }{\milli \litre }\) \(\newcommand {\l }{\litre }\) \(\newcommand {\hl }{\hecto \litre }\) \(\newcommand {\uL }{\micro \liter }\) \(\newcommand {\mL }{\milli \liter }\) \(\newcommand {\L }{\liter }\) \(\newcommand {\hL }{\hecto \liter }\) \(\newcommand {\mHz }{\milli \hertz }\) \(\newcommand {\Hz }{\hertz }\) \(\newcommand {\kHz }{\kilo \hertz }\) \(\newcommand {\MHz }{\mega \hertz }\) \(\newcommand {\GHz }{\giga \hertz }\) \(\newcommand {\THz }{\tera \hertz }\) \(\newcommand {\mN }{\milli \newton }\) \(\newcommand {\N }{\newton }\) \(\newcommand {\kN }{\kilo \newton }\) \(\newcommand {\MN }{\mega \newton }\) \(\newcommand {\Pa }{\pascal }\) \(\newcommand {\kPa }{\kilo \pascal }\) \(\newcommand {\MPa }{\mega \pascal }\) \(\newcommand {\GPa }{\giga \pascal }\) \(\newcommand {\mohm }{\milli \ohm }\) \(\newcommand {\kohm }{\kilo \ohm }\) \(\newcommand {\Mohm }{\mega \ohm }\) \(\newcommand {\pV }{\pico \volt }\) \(\newcommand {\nV }{\nano \volt }\) \(\newcommand {\uV }{\micro \volt }\) \(\newcommand {\mV }{\milli \volt }\) \(\newcommand {\V }{\volt }\) \(\newcommand {\kV }{\kilo \volt }\) \(\newcommand {\W }{\watt }\) \(\newcommand {\uW }{\micro \watt }\) \(\newcommand {\mW }{\milli \watt }\) \(\newcommand {\kW }{\kilo \watt }\) \(\newcommand {\MW }{\mega \watt }\) \(\newcommand {\GW }{\giga \watt }\) \(\newcommand {\J }{\joule }\) \(\newcommand {\uJ }{\micro \joule }\) \(\newcommand {\mJ }{\milli \joule }\) \(\newcommand {\kJ }{\kilo \joule }\) \(\newcommand {\eV }{\electronvolt }\) \(\newcommand {\meV }{\milli \electronvolt }\) \(\newcommand {\keV }{\kilo \electronvolt }\) \(\newcommand {\MeV }{\mega \electronvolt }\) \(\newcommand {\GeV }{\giga \electronvolt }\) \(\newcommand {\TeV }{\tera \electronvolt }\) \(\newcommand {\kWh }{\kilo \watt \hour }\) \(\newcommand {\F }{\farad }\) \(\newcommand {\fF }{\femto \farad }\) \(\newcommand {\pF }{\pico \farad }\) \(\newcommand {\K }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\dB }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\kibi }{\mathrm {Ki}}\) \(\newcommand {\mebi }{\mathrm {Mi}}\) \(\newcommand {\gibi }{\mathrm {Gi}}\) \(\newcommand {\tebi }{\mathrm {Ti}}\) \(\newcommand {\pebi }{\mathrm {Pi}}\) \(\newcommand {\exbi }{\mathrm {Ei}}\) \(\newcommand {\zebi }{\mathrm {Zi}}\) \(\newcommand {\yobi }{\mathrm {Yi}}\) \(\let \unit \si \) \(\let \qty \SI \) \(\let \qtylist \SIlist \) \(\let \qtyrange \SIrange \) \(\let \numproduct \num \) \(\let \qtyproduct \SI \) \(\let \complexnum \num \) \(\newcommand {\complexqty }[3][]{(\complexnum {#2})\si {#3}}\) \(\newcommand {\mleft }{\left }\) \(\newcommand {\mright }{\right }\) \(\newcommand {\mleftright }{}\) \(\newcommand {\mleftrightrestore }{}\) \(\require {gensymb}\) \(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\let \Hat \hat \) \(\let \Check \check \) \(\let \Tilde \tilde \) \(\let \Acute \acute \) \(\let \Grave \grave \) \(\let \Dot \dot \) \(\let \Ddot \ddot \) \(\let \Breve \breve \) \(\let \Bar \bar \) \(\let \Vec \vec \) \(\require {cancel}\) \(\newcommand {\mathred }[1]{\textcolor [rgb]{1, 0, 0}{#1}}\) \(\newcommand {\mathgreen }[1]{\textcolor [rgb]{0,0.5,0}{#1}}\) \(\newcommand {\mathblue }[1]{\textcolor [rgb]{0,0,1}{#1}}\) \(\newcommand {\mathorange }[1]{\textcolor [rgb]{1,0.5,0}{#1}}\) \(\newcommand {\mathmagenta }[1]{\textcolor [cmyk]{0, 1, 1, 0.33}{#1}}\) \( \newcommand \ccancel [2][red]{\renewcommand \CancelColor {\color {#1}}\cancel {#2}} \) \(\newcommand {\Dom }{\operatorname {Dom}}\) \(\newcommand {\Ran }{\operatorname {Ran}}\) \(\newcommand {\Dm }{\operatorname {Dm}}\) \(\newcommand {\Vm }{\operatorname {Vm}}\) \(\newcommand {\Var }{\operatorname {Var}}\) \(\newcommand {\SD }{\operatorname {SD}}\) \(\newcommand {\ExV }{\operatorname {E}}\) \(\newcommand {\opointtext }{\textcolor {blue}{\circ }}\) \(\newcommand {\cpointtext }{\textcolor {blue}{\bullet }}\) \(\newcommand {\vectwo }[2]{\begin {pmatrix} #1 \\ #2 \end {pmatrix}}\) \(\newcommand {\tcbset }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbsetforeverylayer }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbox }[2][]{\boxed {\text {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxfit }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcblower }{}\) \(\newcommand {\tcbline }{}\) \(\newcommand {\tcbtitle }{}\) \(\newcommand {\tcbsubtitle [2][]{\mathrm {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcbhighmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }\) \(\let \midrule \toprule \) \(\let \bottomrule \toprule \) \(\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}\) \(\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}\) \(\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }\) \(\newcommand {\morecmidrules }{}\) \(\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }\) \(\newcommand {\addlinespace }[1][]{}\) \(\def \LWRsiunitxrangephrase {\TextOrMath { }{\ }\protect \mbox {to (numerical range)}\TextOrMath { }{\ }}\) \(\def \LWRsiunitxdecimal {.}\)

1.7 Brøker

Vi starter dette afsnit med en gennemgang af simpel brøkregning. Så, hvis du aldrig forstod det i folkeskolen, har du nu endnu en mulighed.

Her er et eksempel på en brøk:

\[\frac {3}{4}\]

Det øverste tal kaldes tælleren, og det nederste kaldes nævneren. Mange glemmer, hvad der er hvad, så her er en huskeregel:

\[\frac {\text {\textbf {T}op}}{\text {\textbf {N}ederst}}=\frac {\text {\textbf {T}æller}}{\text {\textbf {N}ævner}}\]

Man forlænger en brøk ved at gange med det samme tal i både tæller og nævner.

  • Eksempel 1.7.1
    Vi forlænger brøken \(\frac {3}{4}\) med \(5\):

    \[\frac {3}{4}=\frac {3\cdot 5}{4\cdot 5}=\frac {15}{20}\]

Man forkorter en brøk ved at dividere med det samme tal i tæller og nævner.

  • Eksempel 1.7.2
    Vi vil forkorte brøken \(\frac {2}{10}\). Vi ser, at \(2\) går op i både tæller og nævner, så vi kan forkorte med \(2\):

    \[\frac {2}{10}=\frac {1\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac {1\cdot \ccancel {2}}{5 \cdot \ccancel {2}}=\frac {1}{5}\]

    Det virker måske som en lidt besværlig måde at skrive det op på, men det er nødvendigt at tænke på den måde, når vi senere møder brøker med bogstaver.

Øvelse 1.7.1

  • a) Forlæng \(\frac {2}{7}\) med \(3\).

  • b) Forkort \(\frac {8}{24}\), så den ikke kan forkortes mere.

 1.7.1

  • a) \(\frac {6}{21}\)

  • b) \(\frac {1}{3}\)

Skal man lægge to brøker sammen, kræver det, at de har samme nævner.

  • Eksempel 1.7.3
    Vi vil regne \(\frac {1}{6}+\frac {2}{3}\). Vi ser, at hvis vi forlænger den sidste brøk med \(2\), får vi fællesnævneren \(6\):

    \begin{align*} \frac {1}{6}+\frac {2}{3} &= \frac {1}{6}+\frac {2\cdot 2}{3\cdot 2}\\[10pt] & =\frac {1}{6}+\frac {4}{6}\\[10pt] & =\frac {1+4}{6}\\[10pt] & =\frac {5}{6} \end{align*}

Man kan lægge et tal til en brøk ved at lave tallet om til en brøk.

  • Eksempel 1.7.4
    Vi vil regne \(\frac {4}{7}+2\). Da \(2=\frac {14}{7}\), får vi:

    \[\frac {4}{7}+2=\frac {4}{7}+\frac {14}{7}=\frac {18}{7}\]

Vi har kun set eksempler med plus, men det fungerer tilsvarende med minus.

Øvelse 1.7.2

Regn:

  • a) \(\frac {1}{7}+\frac {4}{7}\)

  • b) \(\frac {3}{40}+\frac {2}{4}\)

  • c) \(\frac {5}{4}-\frac {3}{5}\)

 1.7.2

  • a) \(\frac {5}{7}\)

  • b) \(\frac {23}{40}\)

  • c) \(\frac {13}{20}\)

Man ganger to brøker ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner.

  • Eksempel 1.7.5
    Gangestykket \(\frac {1}{4}\cdot \frac {5}{3}\) regnes ved:

    \[\frac {1}{4}\cdot \frac {5}{3}=\frac {1\cdot 5}{4\cdot 3}=\frac {5}{12}\]

Man ganger et tal med en brøk ved at gange tallet op i tælleren.

  • Eksempel 1.7.6
    Gangestykket \(5\cdot \frac {3}{10}\) regnes ved:

    \[5\cdot \frac {3}{10}=\frac {5\cdot 3}{10}=\frac {15}{10}=\frac {3}{2}\]

    Læg mærke til, at jeg har forkortet brøken i sidste skridt.

    Er man god til matematik, vil man regne gangestykket lidt smartere. Fordi \(5\) går op i nævneren, vil \(5\)-tallet gå ud, når vi forkorter, og derfor kan man lige så godt ”forkorte det ud” med det samme:

    \[5\cdot \frac {3}{10}=5\cdot \frac {3}{5\cdot 2}=\ccancel {5}\cdot \frac {3}{\ccancel {5}\cdot 2}=\frac {3}{2}\]

    Det ser måske ikke smartere ud, når det er skrevet op på den måde, men der skal regnes mindre.

Man dividerer med en brøk ved at gange med den ”omvendte brøk”.

  • Eksempel 1.7.7
    Vi vil regne:

    \[\frac {\ \frac {3}{2}\ }{\frac {7}{6}}\]

    Vi regner divisionen ved at bytte rundt på tæller og nævner i den nederste brøk, hvorefter vi ganger de to brøker:

    \[ \frac {\ \frac {3}{2}\ }{\frac {7}{6}} = \frac {3}{2}\cdot \frac {6}{7} = \frac {3\cdot 6}{2\cdot 7} = \frac {18}{14} =\frac {9}{7}\]

  • Eksempel 1.7.8
    Vi vil regne:

    \[\frac {2}{\ \frac {4}{3}\ }\]

    Vi udfører divisionen ved at gange med den omvendte brøk:

    \[\frac {2}{\ \frac {4}{3}\ }=2\cdot \frac {3}{4}=\frac {2\cdot 3}{4}=\frac {6}{4}=\frac {3}{2}\]

    Ligesom i eksempel 1.7.6 kan vi gøre det smartere:

    \[\frac {2}{\ \frac {4}{3}\ }=2\cdot \frac {3}{4}=2\cdot \frac {3}{2\cdot 2}=\ccancel {2}\cdot \frac {3}{\ccancel {2}\cdot 2}=\frac {3}{2}\]

Man dividerer en brøk med et tal ved at gange tallet ind i nævneren.

  • Eksempel 1.7.9
    Vi vil regne:

    \[\frac {\ \frac {8}{5}\ }{2}\]

    Vi udfører divisionen ved at gange nævneren i den øvre brøk med \(2\):

    \[\frac {\ \frac {8}{5}\ }{2}=\frac {8}{5\cdot 2}=\frac {4\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac {4\cdot \ccancel {2}}{5\cdot \ccancel {2}}=\frac {4}{5}\]

Øvelse 1.7.3

Regn:

  • a) \(\frac {4}{3}\cdot \frac {2}{5}\)

  • b) \(\frac {6}{5}\cdot 2\)

  • c) \(\frac {\ \frac {3}{5}\ }{3}\)

  • d) \(\frac {5}{\ \frac {2}{3}\ }\cdot 4\)

  • e) \(\frac {\ \frac {7}{3}\ }{\frac {1}{3}}\)

 1.7.3

  • a) \(\frac {8}{15}\)

  • b) \(\frac {12}{5}\)

  • c) \(\frac {1}{5}\)

  • d) \(30\)

  • e) \(7\)

I stedet for at huske alle brøkregnereglerne, kan man prøve at forstå dem, så man fremover kan tænke sig frem til dem.

  • Eksempel 1.7.10
    Man ganger et tal med en brøk ved at gange i tælleren. Det kan man godt tænke sig til. Lad os sige, at vi har en pizza, som er delt i \(8\) stykker. Lad os sige, at du spiser \(2\) stykker. Så har du spist \(\frac {2}{8}\) af pizzaen. Hvis din ven spiser det dobbelte af dig, spiser din ven \(4\) stykker. Dvs. \(\frac {4}{8}\) af pizzaen. Så

    \[2\cdot \frac {2}{8}=\frac {2\cdot 2}{8}=\frac {4}{8}\]

Øvelse 1.7.4 ()

I denne øvelse skal du overveje resten af brøkregnereglerne.

  • a) Læs ovenstående eksempel igen og se, om du kan argumentere tilsvarende for de andre brøkregneregler. Du behøver ikke at skrive dine argumenter ned.

 1.7.4

  • a) Intet facit her, men du kan spørge din lærer, hvis du er i tvivl om noget.

Brøker med bogstaver

Når vi fremover støder på brøker, vil de nogle gange være med bogstaver i stedet for tal. Det er dog præcis de samme regler, der gælder.

  • Eksempel 1.7.11
    Vi forlænger brøken \(\frac {a+b}{c}\) med \(5\):

    \[\frac {a+b}{c}=\frac {5(a+b)}{5c}=\frac {5a+5b}{5c}\]

    Læg mærke til parentesen efter første lighedstegn. Glemmer man den, får man ikke ganget hele tælleren med \(5\).

Øvelse 1.7.5

  • a) Forlæng \(\frac {2}{b}\) med \(a\).

  • b) Forlæng \(\frac {a+1}{b}\) med \(c\).

 1.7.5

  • a) \(\frac {2a}{ab}\)

  • b) \(\frac {ac+c}{bc}\)

  • Eksempel 1.7.12
    Vi forkorter brøken \(\frac {2a}{4ab}\) ved først at omskrive nævneren:

    \[\frac {2a}{4ab}=\frac {2a\cdot 1}{2a\cdot 2b}=\frac {\ccancel {2a}\cdot 1}{\ccancel {2a}\cdot 2b}=\frac {1}{2b}\]

Hvis der optræder flere led i tæller eller nævner, skal man forkorte i hvert led. Det sker meget ofte, at elever glemmer dette, så læg godt mærke til næste eksempel.

  • Eksempel 1.7.13
    Vi forkorter brøken \(\frac {7a^2+a}{ab}\):

    \[\frac {7a^2+a}{ab}=\frac {7aa+a}{ab}=\frac {7a\ccancel {a}+\ccancel {a}}{\ccancel {a}b}=\frac {7a+1}{b}\]

Øvelse 1.7.6

Forkort:

  • a) \(\frac {ab}{bc}\)

  • b) \(\frac {ab}{b}\)

  • c) \(\frac {ab+ac-a^3}{2a^2+a}\)

 1.7.6

  • a) \(\frac {a}{c}\)

  • b) \(a\)

  • c) \(\frac {b+c-a^2}{2a+1}\)

Vi husker, at når man lægger til og trækker fra, skal man først skaffe sig en fællesnævner.

  • Eksempel 1.7.14
    Vi vil omskrive \(\frac {2a+b}{a}+\frac {4}{b}\) til én brøk. Vi forlænger første brøk med \(b\) og anden brøk med \(a\):

    \begin{align*} \frac {2a+b}{a}+\frac {4}{b}&=\frac {(2a+b)b}{ab}+\frac {4a}{ab}\\[10pt] &=\frac {(2a+b)b+4a}{ab}\\[10pt] &=\frac {2ab+b^2+4a}{ab} \end{align*}

Øvelse 1.7.7

Omskriv til én brøk:

  • a) \(\frac {a}{b}+\frac {c}{b}\)

  • b) \(\frac {a}{b}+\frac {b}{a}\)

  • c) \(\frac {b^2}{4a^2}-\frac {c}{a}\)

 1.7.7

  • a) \(\frac {a+c}{b}\)

  • b) \(\frac {a^2+b^2}{ab}\)

  • c) \(\frac {b^2-4ac}{4a^2}\)

Vil man lægge et tal til en brøk, skal man først lave tallet om til en brøk.

  • Eksempel 1.7.15
    Vi omskriver \(\frac {a}{b}+c\) til en brøk:

    \begin{align*} \frac {a}{b}+c & = \frac {a}{b}+\frac {c}{1}\\[10pt] &=\frac {a}{b}+\frac {c\cdot b}{1\cdot b}\\[10pt] &=\frac {a}{b}+\frac {bc}{b}\\[10pt] &=\frac {a+bc}{b} \end{align*}

Øvelse 1.7.8

Omskriv til en brøk:

  • a) \(\frac {a}{b}-2\)

 1.7.8

  • a) \(\frac {a-2b}{b}\)

Man skal huske at sætte parenteser, når man regner gangestykker med brøker, som har flere led i tæller eller nævner.

  • Eksempel 1.7.16
    Vi omskriver \(a\cdot \frac {b+c}{b}\) til en brøk:

    \[a\cdot \frac {b+c}{b}=\frac {a(b+c)}{b}=\frac {ab+ac}{b}\]

Øvelse 1.7.9

Omskriv til én brøk og reducer:

  • a) \(\frac {a+b}{c}\cdot \frac {a}{b}\)

  • b) \(-a\cdot \frac {a-2}{b}\)

  • c) \(\frac {\ \frac {2}{a}\ }{b}\)

  • d) \(\frac {\ a\ }{\frac {2}{a}}\)

  • e) \(\frac {\ \frac {3+a}{b}\ }{\frac {a}{b}}\)

  • f) \(\frac {\ 1\ }{\frac {1}{y}}\)

  • g) \(\frac {a}{2}\cdot \frac {a}{b+c}\)

 1.7.9

  • a) \(\frac {a^2+ab}{bc}\)

  • b) \(\frac {-a^2+2a}{b}\)

  • c) \(\frac {2}{ab}\)

  • d) \(\frac {a^2}{2}\)

  • e) \(\frac {3+a}{a}\)

  • f) \(y\)

  • g) \(\frac {a^2}{2b+2c}\)

Ligninger med brøker ()

Ligninger med brøker kan løses ved at gange igennem med et tal, der får brøkerne til at forsvinde.

  • Eksempel 1.7.17
    Vi vil løse ligningen:

    \[\frac {2}{3}x+4=\frac {25}{6}\]

    Vi vil gerne af med brøkerne, og da \(6\) er en mulig fællesnævner for brøkerne, ganger vi med \(6\) på begge sider:

    \[6\cdot \frac {2}{3}x+6\cdot 4 =6\cdot \frac {25}{6}\]

    Læg mærke til, at vi har ganget i begge led på venstresiden. Vi reducerer:

    \[4x+24 = 25\]

    Denne ligning skulle du gerne kunne løse uden problemer. Løsningen er:

    \[x=\frac {1}{4}\]

Øvelse 1.7.10

Løs ligningerne ved brug af metoden fra eksempel 1.7.17:

  • a) \(\frac {1}{4}x+\frac {3}{2}=x\)

  • b) \(\frac {2}{3}x-\frac {1}{4}x=\frac {1}{2}x-1\)

 1.7.10

  • a) \(x=2\)

  • b) \(x=12\)

Man kan også komme ud for, at den ubekendte står i nævneren. Her kan man igen benytte samme strategi med at gange igennem med et udtryk, som får brøkerne til at forsvinde.

  • Eksempel 1.7.18
    Vi vil løse ligningen:

    \[\frac {2}{x+1}+1=\frac {4}{3}\]

    Vi ganger igennem med \(3(x+1)\), da det er en mulig fællesnævner for de to brøker i ligningen:

    \[3(x+1)\frac {2}{x+1}+3(x+1)1=3(x+1)\frac {4}{3}\]

    Vi reducerer:

    \[3\ccancel {(x+1)}\frac {2}{\ccancel {x+1}}+3(x+1)=\ccancel {3}(x+1)\frac {4}{\ccancel {3}}\]

    Vi får så:

    \[3\cdot 2+3(x+1)=(x+1)4\]

    Denne ligning kan nu løses på normal vis og giver:

    \[x=5\]

Øvelse 1.7.11

Løs ligningen:

  • a) \(6=\frac {3}{x}\)

 1.7.11

  • a) \(x=\frac {1}{2}\)

Øvelse 1.7.12 ()

Løs ligningen:

  • a) \(\frac {1}{2x+3}=\frac {4}{6x+9}-\frac {1}{3}\)

 1.7.12

  • a) \(x=-1\)