MATHHX B

$\newcommand{\footnotename}{footnote}$ $\def \LWRfootnote {1}$ $\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}$ $\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}$ $\let \LWRorighspace \hspace $ $\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }$ $\newcommand {\TextOrMath }[2]{#2}$ $\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}$ $\newcommand \ensuremath [1]{#1}$ $\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } $ $\newcommand {\setlength }[2]{}$ $\newcommand {\addtolength }[2]{}$ $\newcommand {\setcounter }[2]{}$ $\newcommand {\addtocounter }[2]{}$ $\newcommand {\arabic }[1]{}$ $\newcommand {\number }[1]{}$ $\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}$ $\newcommand {\cline }[1]{}$ $\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}$ $\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}$ $\newcommand {\protect }{}$ $\def \LWRabsorbnumber #1 {}$ $\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}$ $\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}$ $\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }$ $\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }$ $\def \mathcode #1={\mathchar }$ $\let \delcode \mathcode $ $\let \delimiter \mathchar $ $\def \oe {\unicode {x0153}}$ $\def \OE {\unicode {x0152}}$ $\def \ae {\unicode {x00E6}}$ $\def \AE {\unicode {x00C6}}$ $\def \aa {\unicode {x00E5}}$ $\def \AA {\unicode {x00C5}}$ $\def \o {\unicode {x00F8}}$ $\def \O {\unicode {x00D8}}$ $\def \l {\unicode {x0142}}$ $\def \L {\unicode {x0141}}$ $\def \ss {\unicode {x00DF}}$ $\def \SS {\unicode {x1E9E}}$ $\def \dag {\unicode {x2020}}$ $\def \ddag {\unicode {x2021}}$ $\def \P {\unicode {x00B6}}$ $\def \copyright {\unicode {x00A9}}$ $\def \pounds {\unicode {x00A3}}$ $\let \LWRref \ref $ $\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }$ $ \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}$ $\require {textcomp}$ $\require {colortbl}$ $\let \LWRorigcolumncolor \columncolor $ $\renewcommand {\columncolor }[2][named]{\LWRorigcolumncolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }$ $\let \LWRorigrowcolor \rowcolor $ $\renewcommand {\rowcolor }[2][named]{\LWRorigrowcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }$ $\let \LWRorigcellcolor \cellcolor $ $\renewcommand {\cellcolor }[2][named]{\LWRorigcellcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }$ $\newcommand {\tothe }[1]{^{#1}}$ $\newcommand {\raiseto }[2]{{#2}^{#1}}$ $\newcommand {\LWRsiunitxEND }{}$ $\def \LWRsiunitxang #1;#2;#3;#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#1}{}{\num {#1}\degree }\ifblank {#2}{}{\num {#2}^{\unicode {x2032}}}\ifblank {#3}{}{\num {#3}^{\unicode {x2033}}}}$ $\newcommand {\ang }[2][]{\LWRsiunitxang #2;;;\LWRsiunitxEND }$ $\def \LWRsiunitxdistribunit {}$ $\newcommand {\LWRsiunitxENDTWO }{}$ $\def \LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,#2,#3\LWRsiunitxENDTWO {\ifblank {#1}{0}{\mathrm {#1}}\ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\mathrm {#2}}}$ $\def \LWRsiunitxprintdecimalsub #1.#2.#3\LWRsiunitxEND {\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,,\LWRsiunitxENDTWO \ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #2,,\LWRsiunitxENDTWO }}$ $\newcommand {\LWRsiunitxprintdecimal }[1]{\LWRsiunitxprintdecimalsub #1...\LWRsiunitxEND }$ $\def \LWRsiunitxnumplus #1+#2+#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}{\ifblank {#1}{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x02B}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}}\LWRsiunitxdistribunit }$ $\def \LWRsiunitxnumminus #1-#2-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumplus #1+++\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#1}{}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}\unicode {x02212}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}$ $\def \LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm #2\pm #3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumminus #1---\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}$ $\def \LWRsiunitxnumpm #1+-#2+-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm \pm \pm \LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}$ $\newcommand {\LWRsiunitxnumscientific }[2]{\ifblank {#1}{}{\ifstrequal {#1}{-}{-}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\times }}10^{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}\LWRsiunitxdistribunit }$ $\def \LWRsiunitxnumD #1D#2D#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpm #1+-+-\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}$ $\def \LWRsiunitxnumd #1d#2d#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumD #1DDD\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}$ $\def \LWRsiunitxnumE #1E#2E#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumd #1ddd\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}$ $\def \LWRsiunitxnume #1e#2e#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumE #1EEE\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}$ $\def \LWRsiunitxnumx #1x#2x#3x#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#3}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #3eee\LWRsiunitxEND }}}$ $\newcommand {\num }[2][]{\LWRsiunitxnumx #2xxxxx\LWRsiunitxEND }$ $\newcommand {\si }[2][]{\mathrm {\gsubstitute {#2}{~}{\,}}}$ $\def \LWRsiunitxSIopt #1[#2]#3{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#3}}{#2}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}$ $\newcommand {\LWRsiunitxSI }[2]{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#2}}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}$ $\newcommand {\SI }[2][]{\ifnextchar [{\LWRsiunitxSIopt {#2}}{\LWRsiunitxSI {#2}}}$ $\newcommand {\numlist }[2][]{\text {#2}}$ $\newcommand {\numrange }[3][]{\num {#2}\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}}$ $\newcommand {\SIlist }[3][]{\text {#2}\,\si {#3}}$ $\newcommand {\SIrange }[4][]{\num {#2}\,#4\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}\,#4}$ $\newcommand {\tablenum }[2][]{\mathrm {#2}}$ $\newcommand {\ampere }{\mathrm {A}}$ $\newcommand {\candela }{\mathrm {cd}}$ $\newcommand {\kelvin }{\mathrm {K}}$ $\newcommand {\kilogram }{\mathrm {kg}}$ $\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}$ $\newcommand {\mole }{\mathrm {mol}}$ $\newcommand {\second }{\mathrm {s}}$ $\newcommand {\becquerel }{\mathrm {Bq}}$ $\newcommand {\degreeCelsius }{\unicode {x2103}}$ $\newcommand {\coulomb }{\mathrm {C}}$ $\newcommand {\farad }{\mathrm {F}}$ $\newcommand {\gray }{\mathrm {Gy}}$ $\newcommand {\hertz }{\mathrm {Hz}}$ $\newcommand {\henry }{\mathrm {H}}$ $\newcommand {\joule }{\mathrm {J}}$ $\newcommand {\katal }{\mathrm {kat}}$ $\newcommand {\lumen }{\mathrm {lm}}$ $\newcommand {\lux }{\mathrm {lx}}$ $\newcommand {\newton }{\mathrm {N}}$ $\newcommand {\ohm }{\mathrm {\Omega }}$ $\newcommand {\pascal }{\mathrm {Pa}}$ $\newcommand {\radian }{\mathrm {rad}}$ $\newcommand {\siemens }{\mathrm {S}}$ $\newcommand {\sievert }{\mathrm {Sv}}$ $\newcommand {\steradian }{\mathrm {sr}}$ $\newcommand {\tesla }{\mathrm {T}}$ $\newcommand {\volt }{\mathrm {V}}$ $\newcommand {\watt }{\mathrm {W}}$ $\newcommand {\weber }{\mathrm {Wb}}$ $\newcommand {\day }{\mathrm {d}}$ $\newcommand {\degree }{\mathrm {^\circ }}$ $\newcommand {\hectare }{\mathrm {ha}}$ $\newcommand {\hour }{\mathrm {h}}$ $\newcommand {\litre }{\mathrm {l}}$ $\newcommand {\liter }{\mathrm {L}}$ $\newcommand {\arcminute }{^\prime }$ $\newcommand {\minute }{\mathrm {min}}$ $\newcommand {\arcsecond }{^{\prime \prime }}$ $\newcommand {\tonne }{\mathrm {t}}$ $\newcommand {\astronomicalunit }{au}$ $\newcommand {\atomicmassunit }{u}$ $\newcommand {\bohr }{\mathit {a}_0}$ $\newcommand {\clight }{\mathit {c}_0}$ $\newcommand {\dalton }{\mathrm {D}_\mathrm {a}}$ $\newcommand {\electronmass }{\mathit {m}_{\mathrm {e}}}$ $\newcommand {\electronvolt }{\mathrm {eV}}$ $\newcommand {\elementarycharge }{\mathit {e}}$ $\newcommand {\hartree }{\mathit {E}_{\mathrm {h}}}$ $\newcommand {\planckbar }{\mathit {\unicode {x210F}}}$ $\newcommand {\angstrom }{\mathrm {\unicode {x212B}}}$ $\let \LWRorigbar \bar $ $\newcommand {\barn }{\mathrm {b}}$ $\newcommand {\bel }{\mathrm {B}}$ $\newcommand {\decibel }{\mathrm {dB}}$ $\newcommand {\knot }{\mathrm {kn}}$ $\newcommand {\mmHg }{\mathrm {mmHg}}$ $\newcommand {\nauticalmile }{\mathrm {M}}$ $\newcommand {\neper }{\mathrm {Np}}$ $\newcommand {\yocto }{\mathrm {y}}$ $\newcommand {\zepto }{\mathrm {z}}$ $\newcommand {\atto }{\mathrm {a}}$ $\newcommand {\femto }{\mathrm {f}}$ $\newcommand {\pico }{\mathrm {p}}$ $\newcommand {\nano }{\mathrm {n}}$ $\newcommand {\micro }{\mathrm {\unicode {x00B5}}}$ $\newcommand {\milli }{\mathrm {m}}$ $\newcommand {\centi }{\mathrm {c}}$ $\newcommand {\deci }{\mathrm {d}}$ $\newcommand {\deca }{\mathrm {da}}$ $\newcommand {\hecto }{\mathrm {h}}$ $\newcommand {\kilo }{\mathrm {k}}$ $\newcommand {\mega }{\mathrm {M}}$ $\newcommand {\giga }{\mathrm {G}}$ $\newcommand {\tera }{\mathrm {T}}$ $\newcommand {\peta }{\mathrm {P}}$ $\newcommand {\exa }{\mathrm {E}}$ $\newcommand {\zetta }{\mathrm {Z}}$ $\newcommand {\yotta }{\mathrm {Y}}$ $\newcommand {\percent }{\mathrm {\%}}$ $\newcommand {\meter }{\mathrm {m}}$ $\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}$ $\newcommand {\gram }{\mathrm {g}}$ $\newcommand {\kg }{\kilo \gram }$ $\newcommand {\of }[1]{_{\mathrm {#1}}}$ $\newcommand {\squared }{^2}$ $\newcommand {\square }[1]{\mathrm {#1}^2}$ $\newcommand {\cubed }{^3}$ $\newcommand {\cubic }[1]{\mathrm {#1}^3}$ $\newcommand {\per }{\,\mathrm {/}}$ $\newcommand {\celsius }{\unicode {x2103}}$ $\newcommand {\fg }{\femto \gram }$ $\newcommand {\pg }{\pico \gram }$ $\newcommand {\ng }{\nano \gram }$ $\newcommand {\ug }{\micro \gram }$ $\newcommand {\mg }{\milli \gram }$ $\newcommand {\g }{\gram }$ $\newcommand {\kg }{\kilo \gram }$ $\newcommand {\amu }{\mathrm {u}}$ $\newcommand {\nm }{\nano \metre }$ $\newcommand {\um }{\micro \metre }$ $\newcommand {\mm }{\milli \metre }$ $\newcommand {\cm }{\centi \metre }$ $\newcommand {\dm }{\deci \metre }$ $\newcommand {\m }{\metre }$ $\newcommand {\km }{\kilo \metre }$ $\newcommand {\as }{\atto \second }$ $\newcommand {\fs }{\femto \second }$ $\newcommand {\ps }{\pico \second }$ $\newcommand {\ns }{\nano \second }$ $\newcommand {\us }{\micro \second }$ $\newcommand {\ms }{\milli \second }$ $\newcommand {\s }{\second }$ $\newcommand {\fmol }{\femto \mol }$ $\newcommand {\pmol }{\pico \mol }$ $\newcommand {\nmol }{\nano \mol }$ $\newcommand {\umol }{\micro \mol }$ $\newcommand {\mmol }{\milli \mol }$ $\newcommand {\mol }{\mol }$ $\newcommand {\kmol }{\kilo \mol }$ $\newcommand {\pA }{\pico \ampere }$ $\newcommand {\nA }{\nano \ampere }$ $\newcommand {\uA }{\micro \ampere }$ $\newcommand {\mA }{\milli \ampere }$ $\newcommand {\A }{\ampere }$ $\newcommand {\kA }{\kilo \ampere }$ $\newcommand {\ul }{\micro \litre }$ $\newcommand {\ml }{\milli \litre }$ $\newcommand {\l }{\litre }$ $\newcommand {\hl }{\hecto \litre }$ $\newcommand {\uL }{\micro \liter }$ $\newcommand {\mL }{\milli \liter }$ $\newcommand {\L }{\liter }$ $\newcommand {\hL }{\hecto \liter }$ $\newcommand {\mHz }{\milli \hertz }$ $\newcommand {\Hz }{\hertz }$ $\newcommand {\kHz }{\kilo \hertz }$ $\newcommand {\MHz }{\mega \hertz }$ $\newcommand {\GHz }{\giga \hertz }$ $\newcommand {\THz }{\tera \hertz }$ $\newcommand {\mN }{\milli \newton }$ $\newcommand {\N }{\newton }$ $\newcommand {\kN }{\kilo \newton }$ $\newcommand {\MN }{\mega \newton }$ $\newcommand {\Pa }{\pascal }$ $\newcommand {\kPa }{\kilo \pascal }$ $\newcommand {\MPa }{\mega \pascal }$ $\newcommand {\GPa }{\giga \pascal }$ $\newcommand {\mohm }{\milli \ohm }$ $\newcommand {\kohm }{\kilo \ohm }$ $\newcommand {\Mohm }{\mega \ohm }$ $\newcommand {\pV }{\pico \volt }$ $\newcommand {\nV }{\nano \volt }$ $\newcommand {\uV }{\micro \volt }$ $\newcommand {\mV }{\milli \volt }$ $\newcommand {\V }{\volt }$ $\newcommand {\kV }{\kilo \volt }$ $\newcommand {\W }{\watt }$ $\newcommand {\uW }{\micro \watt }$ $\newcommand {\mW }{\milli \watt }$ $\newcommand {\kW }{\kilo \watt }$ $\newcommand {\MW }{\mega \watt }$ $\newcommand {\GW }{\giga \watt }$ $\newcommand {\J }{\joule }$ $\newcommand {\uJ }{\micro \joule }$ $\newcommand {\mJ }{\milli \joule }$ $\newcommand {\kJ }{\kilo \joule }$ $\newcommand {\eV }{\electronvolt }$ $\newcommand {\meV }{\milli \electronvolt }$ $\newcommand {\keV }{\kilo \electronvolt }$ $\newcommand {\MeV }{\mega \electronvolt }$ $\newcommand {\GeV }{\giga \electronvolt }$ $\newcommand {\TeV }{\tera \electronvolt }$ $\newcommand {\kWh }{\kilo \watt \hour }$ $\newcommand {\F }{\farad }$ $\newcommand {\fF }{\femto \farad }$ $\newcommand {\pF }{\pico \farad }$ $\newcommand {\K }{\mathrm {K}}$ $\newcommand {\dB }{\mathrm {dB}}$ $\newcommand {\kibi }{\mathrm {Ki}}$ $\newcommand {\mebi }{\mathrm {Mi}}$ $\newcommand {\gibi }{\mathrm {Gi}}$ $\newcommand {\tebi }{\mathrm {Ti}}$ $\newcommand {\pebi }{\mathrm {Pi}}$ $\newcommand {\exbi }{\mathrm {Ei}}$ $\newcommand {\zebi }{\mathrm {Zi}}$ $\newcommand {\yobi }{\mathrm {Yi}}$ $\let \unit \si $ $\let \qty \SI $ $\let \qtylist \SIlist $ $\let \qtyrange \SIrange $ $\let \numproduct \num $ $\let \qtyproduct \SI $ $\let \complexnum \num $ $\newcommand {\complexqty }[3][]{(\complexnum {#2})\si {#3}}$ $\newcommand {\mleft }{\left }$ $\newcommand {\mright }{\right }$ $\newcommand {\mleftright }{}$ $\newcommand {\mleftrightrestore }{}$ $\require {gensymb}$ $\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}$ $\let \Hat \hat $ $\let \Check \check $ $\let \Tilde \tilde $ $\let \Acute \acute $ $\let \Grave \grave $ $\let \Dot \dot $ $\let \Ddot \ddot $ $\let \Breve \breve $ $\let \Bar \bar $ $\let \Vec \vec $ $\require {cancel}$ $\newcommand {\mathred }[1]{\textcolor [rgb]{1, 0, 0}{#1}}$ $\newcommand {\mathgreen }[1]{\textcolor [rgb]{0,0.5,0}{#1}}$ $\newcommand {\mathblue }[1]{\textcolor [rgb]{0,0,1}{#1}}$ $\newcommand {\mathorange }[1]{\textcolor [rgb]{1,0.5,0}{#1}}$ $\newcommand {\mathmagenta }[1]{\textcolor [cmyk]{0, 1, 1, 0.33}{#1}}$ $ \newcommand \ccancel [2][red]{\renewcommand \CancelColor {\color {#1}}\cancel {#2}} $ $\newcommand {\Dom }{\operatorname {Dom}}$ $\newcommand {\Ran }{\operatorname {Ran}}$ $\newcommand {\Dm }{\operatorname {Dm}}$ $\newcommand {\Vm }{\operatorname {Vm}}$ $\newcommand {\Var }{\operatorname {Var}}$ $\newcommand {\SD }{\operatorname {SD}}$ $\newcommand {\ExV }{\operatorname {E}}$ $\newcommand {\opointtext }{\textcolor {blue}{\circ }}$ $\newcommand {\cpointtext }{\textcolor {blue}{\bullet }}$ $\newcommand {\vectwo }[2]{\begin {pmatrix} #1 \\ #2 \end {pmatrix}}$ $\newcommand {\tcbset }[1]{}$ $\newcommand {\tcbsetforeverylayer }[1]{}$ $\newcommand {\tcbox }[2][]{\boxed {\text {#2}}}$ $\newcommand {\tcboxfit }[2][]{\boxed {#2}}$ $\newcommand {\tcblower }{}$ $\newcommand {\tcbline }{}$ $\newcommand {\tcbtitle }{}$ $\newcommand {\tcbsubtitle [2][]{\mathrm {#2}}}$ $\newcommand {\tcboxmath }[2][]{\boxed {#2}}$ $\newcommand {\tcbhighmath }[2][]{\boxed {#2}}$ $\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }$ $\let \midrule \toprule $ $\let \bottomrule \toprule $ $\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}$ $\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}$ $\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }$ $\newcommand {\morecmidrules }{}$ $\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }$ $\newcommand {\addlinespace }[1][]{}$ $\def \LWRsiunitxrangephrase {\TextOrMath { }{\ }\protect \mbox {to (numerical range)}\TextOrMath { }{\ }}$ $\def \LWRsiunitxdecimal {.}$

3.1 Grundlæggende om lineære funktioner

Vi starter med definitionen af en lineær funktion, så vi kan få fastlagt begrebets betydning.

Definition 3.1.1
En lineær funktion er en funktion med en forskrift på formen:

\[f(x)=ax+b\]

Tallet $a$ kaldes hældningskoefficienten, hældningstallet, eller bare hældningen.

Eksempel 3.1.1
Funktionen $f(x)=2x+1$ er en lineær funktion med $a=2$ og $b=1$.

Øvelse 3.1.1

Betragt den lineære funktion $f(x)=7x+2$.

a) Bestem $a$ og $b$.

3.1.1

a) $a=7$ og $b=2$

Eksempel 3.1.2
Funktionen $f(x)=-3x$ er en lineær funktion med $a=-3$ og $b=0$.

Eksempel 3.1.3
Funktionen $f(x)=5$ er en lineær funktion med $a=0$ og $b=5$.

Eksempel 3.1.4
Funktionen $f(x)=x-4$ er en lineær funktion med $a=1$ og $b=-4$.

Hvis du undrer dig over nogle af disse eksempler, så prøv at indsætte $a$- og $b$-værdierne i $f(x)=ax+b$, og du vil se, at det giver funktionen i eksemplet.

Eksempel 3.1.5
Funktionen $f(x)=2x^2+3$ er ikke en lineær funktion, da forskriften ikke har formen $f(x)=ax+b$.

Øvelse 3.1.2

Afgør, hvilke af følgende funktioner, som er lineære, og bestem for disse tallene a og b:

a) $f(x)=3x+2$
b) $f(x)=2x$
c) $f(x)=x$
d) $f(x)=x^2$
e) $f(x)=-x$
f) $f(x)=\frac {1}{x}$
g) $f(x)=0$
h) $f(x)=-1$

3.1.2

a) Lineær med $a=3$ og $b=2$.
b) Lineær med $a=2$ og $b=0$.
c) Lineær med $a=1$ og $b=0$.
d) Ikke lineær.
e) Lineær med $a=-1$ og $b=0$.
f) Ikke lineær.
g) Lineær med $a=0$ og $b=0$.
h) Lineær med $a=0$ og $b=-1$.

Øvelse 3.1.3

Angiv hældningskoefficienten for funktionerne:

a) $f(x)=-3x+2$
b) $f(x)=1$
c) $f(x)=-x+7$

3.1.3

a) $a=-3$
b) $a=0$
c) $a=-1$

Øvelse 3.1.4

Lad $f(x)=-3x-6$.

a) Er $f$ lineær?
b) Bestem $f(0)$.
c) Bestem ved beregning fortegnsvariationen for $f$.

3.1.4

a) Ja
b) $f(0)=-6$
c) $f$ er positiv i $]-\infty ;-2[$
$f$ er negativ i $]-2;\infty [$
$f$ er nul, når $x=-2$

Grafer for lineære funktioner

Grafen for en lineær funktion kan tegnes på samme måde som grafen for enhver anden funktion, nemlig ved at lave et sildeben.

Øvelse 3.1.5

Lad $f(x)=-2x+3$.

a) Lav et sildeben, og tegn ud fra det grafen for $f$.

3.1.5

Grafen for en lineær funktion er altid en linje, og der findes en hurtig metode til at tegne den. Metoden kræver, at man kender betydningen af $a$ og $b$ i forskriften $f(x)=ax+b$:

• Tallet $b$ viser, hvor grafen skærer $y$-aksen.
• Tallet $a$ viser, hvor meget grafen vokser, når man går $1$ til højre. Hvis $a$ er negativ, aftager grafen i stedet.

Her er betydningen af $a$ og $b$ vist på en tegning:

(-tikz- diagram)

Kig godt på ovenstående tegning. Den er vigtig.

Eksempel 3.1.6
Lad os tegne grafen for $f(x)=-2x+3$. Vi kan se, at $b=3$, så funktionen skærer $y$-aksen i $3$:

Da $a=-2$, skal vi gå $1$ ud og $2$ ned for at finde det næste punkt på grafen:

Sådan fortsætter vi, indtil vi har nok punkter til at tegne linjen præcist:

Vi kan nu tegne en linje gennem punkterne:

Øvelse 3.1.6

Tegn graferne for nedenstående funktioner ved hjælp af den netop beskrevne metode.

a) $f(x)=0{,}5x-2$
b) $f(x)=-2x+1$
c) $f(x)=x$
d) $f(x)=-x+2$
e) $f(x)=1$

3.1.6

Øvelse 3.1.7

Betragt graferne for de lineære funktioner $f$, $g$, $h$ og $i$:

(-tikz- diagram)

Bestem forskriften for:

a) $f$
b) $g$
c) $h$
d) $i$

3.1.7

a) $f(x)=0{,}5x-1$
b) $g(x)=-x+1$
c) $h(x)=-1$
d) $i(x)=x$

Øvelse 3.1.8

Betragt graferne for de lineære funktioner $f$ og $g$:

(-tikz- diagram)

a) Bestem $f(-3)$.
b) Løs ligningen $f(x)=2$.
c) Løs ligningen $g(x)=2$.
d) Løs ligningen $g(x)=-3$.
e) Bestem $\Dm (f)$ og $\Vm (f)$.
f) Bestem $\Dm (g)$ og $\Vm (g)$.

3.1.8

a) $f(-3)=-4$
b) $x=3$
c) $L=\emptyset $
d) $L=\mathbb {R}$
e) $\Dm (f)=\mathbb {R}$ og $\Vm (f)=\mathbb {R}$
f) $\Dm (g)=\mathbb {R}$ og $\Vm (g)=\{-3\}$

Øvelse 3.1.9 ()

Lad $f(x)=ax+b$ være en lineær funktion.

a) Bestem $\Dm (f)$.
b) Bestem $\Vm (f)$, hvis $a\neq 0\label {sym:neq}$ (tegnet $\neq $ betyder ”ikke lig med”).
c) Bestem $\Vm (f)$, hvis $a=0$.
d) Forklar, hvordan monotoniforholdene afhænger af $a$.
e) Forklar, hvordan antallet af ekstrema afhænger af $a$.
f) Forklar, hvordan antallet af nulpunkter afhænger af $a$ og $b$

3.1.9

a) $\Dm (f)=\mathbb {R}$
b) $\Vm (f)=\mathbb {R}$
c) $\Vm (f)=\{b\}$
d) Hvis $a>0$, er $f$ voksende.
Hvis $a<0$, er $f$ aftagende.
Hvis $a=0$, er $f$ konstant.
e) Hvis $a=0$, har $f$ uendelig mange ekstrema.
Hvis $a\neq 0$ har $f$ ingen ekstrema.
f) Hvis $a=0$ og $b=0$, har $f$ uendelig mange nulpunkter.
Hvis $a=0$ og $b\neq 0$, har $f$ ingen nulpunkter.
Hvis $a\neq 0$, har $f$ ét nulpunkt.

Forskrift ud fra to punkter på grafen

Det er klart, at hvis man har to forskellige punkter, så findes der netop én linje igennem punkterne:

(-tikz- diagram)

Kender man koordinaterne til de to punkter, kan man bestemme forskriften for linjen. Dette gøres ved at bruge to formler. Formlerne præsenteres her i form af en sætning. En sætning er et matematisk resultat, som er særligt nyttigt.

Sætning 3.1.1
Lad $f(x)=ax+b$ være en lineær funktion og antag, at $f$ går igennem to forskellige punkter $P(x_0,y_0)$ og $Q(x_1,y_1)$:

Da er $a$ og $b$ givet ved:

\[a=\frac {y_1-y_0}{x_1-x_0}\qquad \textrm { og }\qquad b=y_0-ax_0\]

I sætningen optræder der $x_0$, $y_0$, $x_1$ og $y_1$. De små tal skrevet med sænket skrift betyder, at der er tale om nogle faste $x$ og $y$-værdier. Tallene har ingen betydning i sig selv, og bruges kun som en slags klistermærker, så vi kan holde styr på de forskellige værdier. Så $x_0$ (læses ”x nul”) er førstekoordinaten til det første punkt, mens $x_1$ (læses ”x et”) er førstekoordinaten til det andet punkt osv.

Eksempel 3.1.7
Vi vil bestemme forskriften for linjen gennem punkterne:

\[ P(1,2)\quad \text {og}\quad Q(4,14) \]

Sammenligner vi med sætning 3.1.1, får vi, at

\[ x_0=1\qquad y_0=2\qquad x_1=4\qquad y_1=14\]

Vi regner først $a$:
$\seteqnumber{0}{3.}{0}$
\begin{align*} a & = \frac {y_1-y_0}{x_1-x_0} && (\text {formlen for $a$ skrives op})\\[10pt] & =\frac {14-2}{4-1} && (\text {værdierne for } x_0,\ x_1,\ y_0 \text { og } y_1 \text { indsættes})\\[5pt] & =4 \end{align*} Ud fra den $a$-værdi kan vi regne $b$:
$\seteqnumber{0}{3.}{0}$
\begin{align*} b & = y_0-ax_0 && (\text {formlen for $b$ skrives op})\\ & =2-4\cdot 1 && (\text {værdierne for } x_0,\ y_0 \text { og } a \text { indsættes})\\ & =-2 \end{align*} Vi sætter de fundne $a$- og $b$-værdier ind i formlen $f(x)=ax+b$:
$\seteqnumber{0}{3.}{0}$
\begin{align*} f(x) & = ax+b\\ & = 4x+(-2) \\& = 4x-2 \end{align*} Forskriften er altså $f(x)=4x-2$.

Øvelse 3.1.10

Bestem, ved hjælp af sætning 3.1.1, den lineære funktion, som går gennem punkterne:

a) $P(2,5)$ og $Q(4,11)$.
b) $R(5,-3)$ og $S(12,-10)$.

3.1.10

a) $f(x)=3x-1$
b) $f(x)=-x+2$

Øvelse 3.1.11

Et sildeben for en lineær funktion $f$ er givet ved:

$\begin {array}{ | c | c | c | c | c |c |} \hline x & 4 & 8 \\ \hline f(x) & 130 & 70 \\ \hline \end {array}$

a) Ud fra sildebenet kan vi se, at $f$ går igennem to punkter. Hvilke?
b) Bestem en forskrift for $f$.

3.1.11

a) Punkterne $(4,130)$ og $(8,70)$.
b) $f(x)=-15x+190$

Øvelse 3.1.12

Betragt grafen for den lineære funktion $h$.

(-tikz- diagram)

a) Aflæs to punkter på grafen.
b) Bestem forskriften for $h$.

3.1.12

a) F.eks. $(4,-5)$ og $(5,2)$
b) $h(x)=7x-33$

Øvelse 3.1.13

En lineær funktion $f$ har en hældning på $2$ og går igennem punktet $(-11,21)$.

a) Bestem en forskrift for $f$.

3.1.13

a) $f(x)=2x+43$

Tilbage Næste