Beviser

Betydningen af $$a$$ og $$b$$

Første skridt

Sætning 1

📌

En lineær funktion $$f(x)=ax+b$$ skærer $$y$$-aksen i punktet $$(0,b)$$, og hver gang $$x$$ vokser med $$1$$ vokser $$f$$ med $$a$$.

Næste skridt

Bevis

Vi starter med at vise at $$b$$ er skæringspunktet på y-aksen. Skæringspunktet med y-aksen har førstekoordinaten $$0$$, så vi kan finde $$y$$-værdien ved at sætte $$0$$ ind i forskriften: $$$f(0)=a⋅0+b=b.$$$ Så den er god nok! Funktionen skærer $$y$$-aksen i punktet $$(0,b)$$.

Næste skridt

Vi skal nu tjekke at når $$x$$ vokser med $$1$$ så vokser funktionen med $$a$$. Så vi vælger en vilkårlig $$x$$-værdi. Vi kalder den $$x_0$$. Lader vi $$x_0$$ vokse med 1, så kommer vi ud til $$x_0+1$$.

Næste skridt

Vi skal så bare regne funktionsværdien: $$$f(x_0+1)=a(x_0+1)+b=ax_0+a+b=(ax_0+b)+a.$$$

Sidste skridt

Det sammenligner vi med funktionsværdien i $$x_0$$: $$$f(x_0 )=ax_0+b,$$$

og vi kan se at funktionsværdien i $$x_0+1$$ er vokset med a i forhold til funktionsværdien i $$x_0$$.

Forskrift for den lineære funktion gennem to punkter

Første skridt

Sætning 2

📌

Lad $$f(x)=ax+b$$ være en lineær funktion og antag at $$f$$ går igennem punkterne $$(x_1,y_1)$$ og $$(x_2,y_2)$$. Da kan konstanterne $$a$$ og $$b$$ bestemmes ved formlerne: $$$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\quad\textrm{ og }\quad b=y_1-ax_1.$$$

Næste skridt

Bevis

Da $$f$$ går igennem punkterne $$(x_1,y_1)$$ og $$(x_2,y_2)$$ må $$$f(x_1)=y_1\quad\textrm{ og }\quad f(x_2)=y_2.$$$

Næste skridt

Da $$f(x)=ax+b$$ får vi $$$ax_1+b=y_1\quad\textrm{ og }\quad ax_2+b=y_2.$$$

Næste skridt

Ud fra det regner vi $$y_2-y_1$$: $$$y_2-y_1=ax_2+b-(ax_1+b)$$$

Næste skridt

Vi ophæver parentesen: $$$y_2-y_1=ax_2+b-ax_1-b,$$$

Næste skridt

og reducerer $$$y_2-y_1=ax_2-ax_1.$$$

Næste skridt

Vi sætter $$a$$ ud foran parentesen (vi faktoriserer) $$$y_2-y_1=a(x_2-x_1),$$$

Næste skridt

og formlen fremkommer ved at vi deler med $$x_2-x_1$$ på begge sider: $$$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$$

Sidste skridt

Formlen for $$b$$ er nem at vise. I starten af beviset fandt vi nemlig ud af at $$ax_1+b=y_1$$. Så vi får $$b$$ ved at trække $$ax_1$$ fra på begge sider: $$$b=y_1-ax_1,$$$ og vi er færdige.