Funktionsundersøgelse fra første år

Vi starter med at opfriske begreberne fra 1 år. Hvis I har problemer med at regne følgende øvelse så gå tilbage og læs om funktioner.

Øvelse 1

📌

Lad $$f(x)=x^3+x^2-2x$$. Lav en funktionsundersøgelse af $$f$$ ved aflæsning i Geogebra. I skal altså bestemme:

  1. Definitionsmængden

    $$\textrm{Dm}(f)=\mathbb{R}$$

  2. Værdimængden

    $$\textrm{Vm}(f)=\mathbb{R}$$

  3. Nulpunkter

    $$x=-2$$, $$x=0$$ og $$x=1$$

  4. Fortegn

    $$f$$ er negativ for $$x\in]-\infty;-2[\cup]0;1[$$
    $$f$$ er positiv for $$x\in]-2;0[\cup]1;\infty[$$

  5. Monotoniforhold

    $$f$$ er voksende for $$x\in ]-\infty;-1{,}2]$$ og voksende for $$x\in[0{,}5;\infty[$$.
    $$f$$ er aftagende for $$x\in [-1{,}2;0{,}5]$$

  6. Ekstrema

    $$f$$ har lokalt maksimum $$2{,}1$$ i $$x=-1{,}2$$ og lokalt minimum $$-0{,}63$$ i $$x=0{,}5$$.

Vi får brug for at lave fortegnsundersøgelser ved beregning (uden at tegne). Så det må vi hellere træne også:

Eksempel 1

📌

Lad $$f(x)=x^2+x$$. Vi vil lave en fortegnsundersøgelse uden at tegne grafen.

Vi starter med nulpunkter. Funktionen $$f$$ er et andengradspolynomium og vi beregner først diskriminanten: $$$d=b^2-4ac=1^2-4\cdot 1 \cdot 0=1.$$$ Vi Insætter nu i nulpunksformlerne og ser at:

$$$x_1=\frac{-b+\sqrt{d}}{2a}=\frac{-1+\sqrt{1}}{2\cdot 1}=\frac{0}{2}=0$$$ og $$$x_2=\frac{-b-\sqrt{d}}{2a}=\frac{-1-\sqrt{1}}{2\cdot 1}=\frac{-2}{2}=-1.$$$

Altså $$f$$ har nulpunkterne $$x_1=0$$ og $$x_2=-1$$.

Nu kan vi finde fortegnsvariationen.

Vi vil nu lave et sildeben. I sildebenet skal vi bruge begge vores nulpunkter:

Sildeben

Vi skal også bruge nogle $$x$$-værdier der omgiver vores nulpunkter. Vi bestemmer selv hvilke:

Sildeben

Vi sætter $$x$$-værdierne ind i sildebenet:

$$x$$ -2 -1 -0,5 0 1
$$f(x)$$ 2 0 -0,25 0 2

Ved at kigge på funktionsværdierne kan vi se at $$f$$ starter med at være positiv indtil vi rammer første nulpunkt -1, hvorefter den bliver negativ, og så igen positiv efter andet nulpunkt 0. Altså:

$$f(x)$$ er positiv for $$x\in]-\infty;-1[\cup ]0;\infty[$$
$$f(x)$$ er negativ for $$x\in]-1;0[$$
$$f(x)$$ er nul når $$x=-1$$ og når $$x=0$$.

Vi husker at $$\in$$ betyder "tilhører" og $$\cup$$ betyder de to intervaller til sammen (foreningsmængden).

Øvelse 2

📌

Bestem med samme metode som i eksempel 1 en fortegnsundersøgelse for følgende funktioner:

  1. $$f(x)=x^2-x-6$$

    $$f$$ er positiv for $$x\in]-\infty;-2[\cup ]3;\infty[$$
    $$f$$ er negativ for $$x\in]-2;3[$$
    $$f$$ er nul når $$x=-2$$ og når $$x=3$$

  2. $$f(x)=2x+8$$

    $$f$$ er positiv for $$x\in]-4;\infty[$$
    $$f$$ er negativ for $$x\in]-\infty;-4[$$
    $$f$$ er nul når $$x=-4$$

  3. $$f(x)=x^2$$

    $$f$$ er positiv for $$x\in]-\infty;0[\cup ]0;\infty[=\mathbb{R}\setminus{0}$$
    $$f$$ er nul når $$x=0$$

  4. $$f(x)=-7$$

    $$f$$ er negativ